Stelling van Jacobi

De ingekleurde hoeken bij A, respectievelijk B en C zijn gelijk, dus XYZ is een Jacobi-driehoek en N het bijbehorende Jacobi-punt.

De stelling van Jacobi is een wiskundige stelling in de euclidische meetkunde van de driehoek. De stelling luidt dat als in het vlak van een driehoek ABC een driehoek A₁B₁C₁ voldoet aan de voorwaarden

• AB₁ en AC₁ antiparallel zijn ten opzichte van AB en AC;
• BA₁ en BC₁ antiparallel zijn ten opzichte van BA en BC;
• CA₁ en CB₁ antiparallel zijn ten opzichte van CA en CB;

dan zijn ABC en A₁B₁C₁ perspectief. A₁B₁C₁ wordt een Jacobi-driehoek of isogonale driehoek genoemd, het perspectiviteitscentrum punt van Jacobi.

Laten we

• $\phi _{A}:=\angle CAB_{1}=\angle C_{1}AB$, dus $\phi _{A}>0$ als C en C₁ aan weerszijden van AB liggen,
• $\phi _{B}:=\angle ABC_{1}=\angle A_{1}BC$, en
• $\phi _{C}:=\angle BCA_{1}=\angle B_{1}CA$,

dan zijn de barycentrische coördinaten met Conway-driehoeknotatie

• $A_{1}=\left(-a^{2}:S_{C}+S_{\phi _{C}}:S_{B}+S_{\phi _{B}}\right),$
• $B_{1}=\left(S_{C}+S_{\phi _{C}}:-b^{2}:S_{A}+S_{\phi _{A}}\right),$ en
• $C_{1}=\left(S_{B}+S_{\phi _{B}}:S_{A}+S_{\phi _{A}}:-c^{2}\right).$

Het bijbehorende punt van Jacobi heeft barycentrische coördinaten

$\left({\frac {1}{S_{A}+S_{\phi _{A}}}}:{\frac {1}{S_{B}+S_{\phi _{B}}}}:{\frac {1}{S_{C}+S_{\phi _{C}}}}\right)=$

$\left({\frac {\sin(\alpha )\sin(\phi _{A})}{\sin(\alpha +\phi _{A})}}:{\frac {\sin(\beta )\sin(\phi _{B})}{\sin(\beta +\phi _{B})}}:{\frac {\sin(\gamma )\sin(\phi _{C})}{\sin(\gamma +\phi _{C})}}\right),$

waarin α, β en γ de hoeken van driehoek ABC representeren.

Bekende voorbeelden van Jacobi-driehoeken zijn de driehoek van Morley, de spiegeldriehoek en de driehoeken van Kiepert. Ook de ontaarde driehoek van punten waar oneindig verre rechte de hoogtelijnen snijden is een Jacobi-driehoek.

Eigenschappen

• Als A₂B₂C₂ ook een Jacobi-driehoek is, dan vormen de punten waar A₁A₂ zijde BC snijdt, B₁B₂ snijdt met AC en C₁C₂ met AB een Ceva-driehoek.
• De kruisingsdriehoek van een Jacobi-driehoek is weer een Jacobi-driehoek.

Zie ook

• Punt van Hofstadter

Bronnen, noten en/of referenties

• Glenn T. Vickers (2016) "The 19 Congruent Jacobi Triangles" Forum Geometricorum 16, 339–344. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201642.pdf