Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
De ingekleurde hoeken bij A, respectievelijk B en C zijn gelijk, dus XYZ is een Jacobi-driehoek en N het bijbehorende Jacobi-punt. De stelling van Jacobi is een wiskundige stelling in de euclidische meetkunde van de driehoek .
De stelling luidt dat als in het vlak van een driehoek ABC een driehoek A1 B1 C1 voldoet aan de voorwaarden
AB1 en AC1 antiparallel zijn ten opzichte van AB en AC;
BA1 en BC1 antiparallel zijn ten opzichte van BA en BC;
CA1 en CB1 antiparallel zijn ten opzichte van CA en CB; dan zijn ABC en A1 B1 C1 perspectief . A1 B1 C1 wordt een Jacobi-driehoek of isogonale driehoek genoemd, het perspectiviteitscentrum punt van Jacobi .
Laten we
ϕ
A
:=
∠
C
A
B
1
=
∠
C
1
A
B
{\displaystyle \phi _{A}:=\angle CAB_{1}=\angle C_{1}AB}
ϕ
A
>
0
{\displaystyle \phi _{A}>0}
1 aan weerszijden van AB liggen,
ϕ
B
:=
∠
A
B
C
1
=
∠
A
1
B
C
{\displaystyle \phi _{B}:=\angle ABC_{1}=\angle A_{1}BC}
ϕ
C
:=
∠
B
C
A
1
=
∠
B
1
C
A
{\displaystyle \phi _{C}:=\angle BCA_{1}=\angle B_{1}CA}
dan zijn de barycentrische coördinaten met Conway-driehoeknotatie
A
1
=
(
−
a
2
:
S
C
+
S
ϕ
C
:
S
B
+
S
ϕ
B
)
,
{\displaystyle A_{1}=\left(-a^{2}:S_{C}+S_{\phi _{C}}:S_{B}+S_{\phi _{B}}\right),}
B
1
=
(
S
C
+
S
ϕ
C
:
−
b
2
:
S
A
+
S
ϕ
A
)
,
{\displaystyle B_{1}=\left(S_{C}+S_{\phi _{C}}:-b^{2}:S_{A}+S_{\phi _{A}}\right),}
C
1
=
(
S
B
+
S
ϕ
B
:
S
A
+
S
ϕ
A
:
−
c
2
)
.
{\displaystyle C_{1}=\left(S_{B}+S_{\phi _{B}}:S_{A}+S_{\phi _{A}}:-c^{2}\right).}
Het bijbehorende punt van Jacobi heeft barycentrische coördinaten
(
1
S
A
+
S
ϕ
A
:
1
S
B
+
S
ϕ
B
:
1
S
C
+
S
ϕ
C
)
=
{\displaystyle \left({\frac {1}{S_{A}+S_{\phi _{A}}}}:{\frac {1}{S_{B}+S_{\phi _{B}}}}:{\frac {1}{S_{C}+S_{\phi _{C}}}}\right)=}
(
sin
(
α
)
sin
(
ϕ
A
)
sin
(
α
+
ϕ
A
)
:
sin
(
β
)
sin
(
ϕ
B
)
sin
(
β
+
ϕ
B
)
:
sin
(
γ
)
sin
(
ϕ
C
)
sin
(
γ
+
ϕ
C
)
)
,
{\displaystyle \left({\frac {\sin(\alpha )\sin(\phi _{A})}{\sin(\alpha +\phi _{A})}}:{\frac {\sin(\beta )\sin(\phi _{B})}{\sin(\beta +\phi _{B})}}:{\frac {\sin(\gamma )\sin(\phi _{C})}{\sin(\gamma +\phi _{C})}}\right),}
waarin α, β en γ de hoeken van driehoek ABC representeren.
Bekende voorbeelden van Jacobi-driehoeken zijn de driehoek van Morley , de spiegeldriehoek en de driehoeken van Kiepert . Ook de ontaarde driehoek van punten waar oneindig verre rechte de hoogtelijnen snijden is een Jacobi-driehoek.
Eigenschappen Als A2 B2 C2 ook een Jacobi-driehoek is, dan vormen de punten waar A1 A2 zijde BC snijdt, B1 B2 snijdt met AC en C1 C2 met AB een Ceva-driehoek .
De kruisingsdriehoek van een Jacobi-driehoek is weer een Jacobi-driehoek. Zie ook 
