Trisectrix van Maclaurin

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Trisectrix van Maclaurin, voortgebracht door het snijpunt van twee roterende lijnen

De trisectrix van Maclaurin is een derdegraads[1] vlakke kromme die gebruikt kan worden als hulpmiddel bij de trisectie (driedeling) van een hoek. De naam “trisectrix” komt uit het Latijn: sectrix, vrouwelijk van sector = snijder; < secare = snijden; dus een kromme die een trisectie (driedeling) tot stand brengt. De kromme is vernoemd naar de Schotse wiskundige Colin Maclaurin die in 1742 als eerste de kromme bestudeerde.

Een generalisatie van de kromme is de sectrix van Maclaurin,[2] die behoort tot de familie van Plateau-krommen.

De kromme is de meetkundige plaats van de snijpunten van twee lijnen die elk roteren om twee vaste punten, waarbij de groottes van de hoeken tussen die lijnen en de verbindingslijn van beide punten zich verhouden als 1 : 3. In de uitgangspositie vallen beide lijnen met die verbindingslijn samen.

Tweede constructie[bewerken | brontekst bewerken]

Trisectrix met een cirkel als uitgangspunt

Op een cirkel met middellijn , middelpunt en straal ligt een punt . De lijn snijdt de middelloodlijn van het lijnstuk in het punt . Dan geldt:

  • De meetkundige plaats van het punt is de trisectrix van Maclaurin als het punt de cirkel doorloopt.

Immers, als in de M-gelijkbenig driehoek geldt dat is, dan is en , zodat .

Vergelijkingen[bewerken | brontekst bewerken]

Poolcoördinaten

In driehoek is, met en , . Dan is volgens de sinusregel:

zodat:

Hiermee behoort de trisectrix van Maclaurin tot de familie van de conchoïden van De Sluse.

Carthesische coördinaten

Is in een standaard carthesisch coördinatenstelsel en , dan heeft de cirkel met middellijn de vergelijking:

Is de vergelijking van de lijn nu , dan zijn de coördinaten van de punten en het midden van :

en

De coördinaten van het punt volgen dan uit de vergelijkingen van de twee lijnen die bepalen, te weten de lijn en de middelloodlijn van :

en

Na enig rekenwerk blijkt dan, door eliminatie van uit die vergelijkingen, dat de coördinaten van voldoen aan de vergelijking:

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

  • Uit de vergelijking van de trisectrix blijkt dat deze symmetrisch is in de x-as.
  • De lijn met vergelijking is verticale asymptoot van trisectrix.
  • De kromme snijdt de x-as in de punten en .
  • Het punt is dubbelpunt.
  • De raaklijnen in het dubbelpunt maken hoeken van met de x-as.

Trisectie van een hoek[bewerken | brontekst bewerken]

Is de kromme getekend, dan kan deze gebruikt worden om een gegeven hoek met grootte in drie gelijk stukken te verdelen.

De hoek wordt zo geplaatst dat het hoekpunt samenvalt met het het middelpunt van de hulpcirkel, waarbij een been van de hoek samenvalt met de symmetrieas van de kromme. Het snijpunt van het andere been van de hoek met de kromme wordt dan verbonden met het dubbelpunt . Dan is .

Externe links[bewerken | brontekst bewerken]