Uitsluitingsprincipe van Pauli

Kwantummechanica
${\Delta x}\,{\Delta p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$
Onzekerheidsrelatie
Algemene inleiding...
Achtergrond Klassieke mechanica Interferentie Hamiltonformalisme
Fundamentele begrippen Kwantumtoestand · Golffunctie · Postulaten Superpositie · Onzekerheidsprincipe Schrödingervergelijking · Tunneleffect Uitsluitingsprincipe Diracnotatie
Gevorderde onderwerpen Interpretatie Klein-Gordonvergelijking Diracvergelijking Kwantumveldentheorie Kwantumgravitatie
Experimenten Schrödingers kat Tweespletenexperiment Tunneleffect Stern-Gerlach-experiment
Wetenschappers Planck · Einstein · Bohr · Sommerfeld · Bose · Kramers · Heisenberg · Born · Jordan · Pauli · Dirac · de Broglie · Schrödinger · von Neumann · Wigner · Feynman · Bohm · Everett · Bell

Het uitsluitingsprincipe van Pauli is een kwantummechanisch principe dat stelt dat twee identieke fermionen niet dezelfde kwantumtoestand kunnen bezetten. Het principe is geformuleerd door Wolfgang Pauli in 1925 en wordt ook wel uitsluitingsprincipe, exclusieprincipe, pauliprincipe of pauliverbod genoemd. Het zegt dat er in een atoom geen twee elektronen kunnen zijn met vier dezelfde kwantumgetallen. Twee elektronen met hetzelfde magnetische, hoofd- en nevenkwantumgetal kunnen zich door een verschillende spin in één orbitaal bevinden. Zij hebben dan een tegengesteld spinkwantumgetal.

Het pauliprincipe geldt alleen voor fermionen, deeltjes die antisymmetrische kwantumtoestanden vormen en halftallige spin hebben. Alle soorten elementaire deeltjes waaruit materie is opgebouwd vallen onder de fermionen. Dat zijn onder andere de protonen, neutronen, de quarks waaruit die bestaan en de elektronen. Het principe heeft grote invloed op veel van de karakteristieke eigenschappen van materie. Voor bosonen, zoals het foton en het graviton, geldt het uitsluitingsprincipe niet. Deze vormen in tegenstelling tot fermionen symmetrische kwantumtoestanden en hebben heeltallige spin.

Met informatie over identieke deeltjes in het achterhoofd kan het principe worden afgeleid. Fermionen van dezelfde soort vormen totaal antisymmetrische toestanden, wat in het geval van twee deeltjes betekent dat

$|\psi \psi '\rangle =-|\psi '\psi \rangle$.

Als beide deeltjes dezelfde kwantumtoestand $|\psi \rangle$ bezetten, is de toestand van het hele systeem $|\psi \psi \rangle$. Dan

$|\psi \psi \rangle =-|\psi \psi \rangle =0\quad {\hbox{(nul-ket)}}$

dus komt zo'n toestand niet voor. Dit kan men uitbreiden naar het geval van meer dan twee deeltjes.

Gevolgen

Het uitsluitingsprincipe speelt een rol in een groot aantal natuurkundige verschijnselen. Een van de belangrijkste, waarvoor het principe oorspronkelijk is geformuleerd, zijn de elektronenschilen van atomen. Een elektrisch neutraal atoom bevat evenveel gebonden elektronen als er protonen in de kern zitten. Aangezien elektronen fermionen zijn, kunnen zij volgens het uitsluitingsprincipe niet dezelfde kwantumtoestand hebben.

Neem bijvoorbeeld een neutraal heliumatoom, dat twee gebonden elektronen heeft. Deze kunnen beide de laagste energietoestand 1s bezetten door tegengestelde spins aan te nemen. Dit is niet in tegenspraak met het uitsluitingsprincipe omdat de spin een deel is van de kwantumtoestand van het elektron. Beide elektronen bezetten verschillende kwantumtoestanden. Spin kan maar twee verschillende waarden aannemen. In een lithiumatoom, dat drie gebonden elektronen bevat, past het derde elektron niet in een 1s-toestand en daardoor moet het in de hogere energietoestand 2s gaan zitten. Op dezelfde manier maken zwaardere elementen steeds hogere energieschillen. De chemische eigenschappen van een element hangen grotendeels af van het aantal elektronen in de buitenste schil, wat resulteert in het periodiek systeem van de elementen.

Het pauliprincipe is ook verantwoordelijk voor de stabiliteit van materie op grote schaal. Moleculen kunnen niet willekeurig dicht bij elkaar worden geduwd, doordat de gebonden elektronen in elk molecuul niet dezelfde toestand in een ander molecuul binnen mogen gaan. Dit is de oorzaak van de afstotende $r^{-12}$-term in de Lennard-Jones-potentiaal. Zonder het pauliprincipe zouden we door de vloer zakken.

In witte dwergen en neutronensterren worden de normale atoomstructuur door de enorme zwaartekracht verstoord. De deeltjes worden dan alleen nog door het pauliprincipe van elkaar gehouden. Deze exotische vorm van materie staat bekend als ontaarde materie. In witte dwergen worden de atomen uit elkaar gehouden door de ontaardingsdruk van de elektronen. In neutronensterren, waarin de zwaartekracht nog groter is, zijn de elektronen met de protonen samengegaan, zodat er neutronen zijn gevormd. De neutronen produceren een grotere ontaardingsdruk dan alleen de elektronen. Bij nog meer zwaartekracht neemt men aan dat de neutronen in quarks uiteenvallen die één groot nucleon vormen, een quarkster.

Voetnoten