Homothetie (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Vermenigvuldiging (meetkunde))
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Voorbeeld van een homothetie; gelijkstandige vierhoeken op basis van die homothetie

In de euclidische meetkunde is een homothetie (<Oudgrieks: ὃμος (hómos) = gelijk, τίθημι (tithèmi) = plaatsen) of vermenigvuldiging een afbeelding die vanuit een vast punt, het centrum van de vermenigvuldiging, alle afstanden in een vaste verhouding verandert. Een homothetie beeldt elke rechte lijn af op een daarmee evenwijdige rechte lijn. Het origineel en de beeldfiguur (ook wel produktfiguur) heten gelijkstandige figuren; dit geldt ook voor punten.[1]

Formele definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een vermenigvuldiging ten opzichte van een (reëel) punt met (schaal)factor beeldt het punt af op het punt dat voldoet aan de volgende voorwaarden:

  • ligt op de lijn ,
  • , waarbij het teken van aangeeft of en aan dezelfde kant van () of aan weerszijden van () liggen,
  • als met samenvalt, valt met samen ( wordt dus op zichzelf afgebeeld).

Enkele eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

Gelijkvormigheidscentra en bij twee cirkels
  • Een homothetie beeldt elke figuur af op een daaraan gelijkvormige figuur. Dit volgt uit de gelijkstandigheid van beide figuren.
  • Een homothetie beeldt een veelhoek af op een veelhoek waarvan de zijden evenwijdig zijn met die van het origineel.
  • Zijn van twee gelijkvormige veelhoeken de zijden evenwijdig, dan is er een homothetie die de ene veelhoek op de andere afbeeldt. Het punt wordt dan het gelijkvormigheidscentrum van beide figuren genoemd. Voor twee gelijkvormige puntsymmetrische veelhoeken met evenwijdige zijden of voor twee cirkels bestaan in bepaalde gevallen twee homothetieën; en dan bestaan er dus ook twee gelijkvormigheidscentra. In het voorbeeld in nevenstaande figuur zijn de punten en de gelijkvormigheidscentra.
  • Een homothetie met factor beeldt een veelhoek met oppervlakte af op een veelhoek met oppervlakte .

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]

Noot[bewerken | brontekst bewerken]

  1. P. Wijdenes: Vlakke meetkunde. Groningen: P. Noordhoff N.V.; derde druk (1964), pag. 73−74.