Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de algebra is de zestien-kwadratenidentiteit van Pfister een niet-bilineaire identiteit van de vorm
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
⋯
+
x
16
2
)
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
+
y
4
2
+
⋯
+
y
16
2
)
=
z
1
2
+
z
2
2
+
z
3
2
+
z
4
2
+
⋯
+
z
16
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{}&(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+\cdots +x_{16}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}+\cdots +y_{16}^{2})\\&\quad =z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}+\cdots +z_{16}^{2}\end{aligned}}}
Deze identiteit werd in de jaren 1960 voor het eerst bewezen door Hans Zassenhaus en W. Eichhorn.[ 1] en Ongeveer tegelijkertijd werd de identiteit onafhankelijk daarvan door Pfister bewezen.[ 2] Er zijn verschillende versies, een beknopte luidt als volgt:
z
1
=
x
1
y
1
−
x
2
y
2
−
x
3
y
3
−
x
4
y
4
−
x
5
y
5
−
x
6
y
6
−
x
7
y
7
−
x
8
y
8
+
u
1
y
9
−
u
2
y
10
−
u
3
y
11
−
u
4
y
12
−
u
5
y
13
−
u
6
y
14
−
u
7
y
15
−
u
8
y
16
{\displaystyle z_{1}=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}-x_{5}y_{5}-x_{6}y_{6}-x_{7}y_{7}-x_{8}y_{8}+u_{1}y_{9}-u_{2}y_{10}-u_{3}y_{11}-u_{4}y_{12}-u_{5}y_{13}-u_{6}y_{14}-u_{7}y_{15}-u_{8}y_{16}}
z
2
=
x
2
y
1
+
x
1
y
2
+
x
4
y
3
−
x
3
y
4
+
x
6
y
5
−
x
5
y
6
−
x
8
y
7
+
x
7
y
8
+
u
2
y
9
+
u
1
y
10
+
u
4
y
11
−
u
3
y
12
+
u
6
y
13
−
u
5
y
14
−
u
8
y
15
+
u
7
y
16
{\displaystyle z_{2}=x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{4}y_{3}-x_{3}y_{4}+x_{6}y_{5}-x_{5}y_{6}-x_{8}y_{7}+x_{7}y_{8}+u_{2}y_{9}+u_{1}y_{10}+u_{4}y_{11}-u_{3}y_{12}+u_{6}y_{13}-u_{5}y_{14}-u_{8}y_{15}+u_{7}y_{16}}
z
3
=
x
3
y
1
−
x
4
y
2
+
x
1
y
3
+
x
2
y
4
+
x
7
y
5
+
x
8
y
6
−
x
5
y
7
−
x
6
y
8
+
u
3
y
9
−
u
4
y
10
+
u
1
y
11
+
u
2
y
12
+
u
7
y
13
+
u
8
y
14
−
u
5
y
15
−
u
6
y
16
{\displaystyle z_{3}=x_{3}y_{1}-x_{4}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{2}y_{4}+x_{7}y_{5}+x_{8}y_{6}-x_{5}y_{7}-x_{6}y_{8}+u_{3}y_{9}-u_{4}y_{10}+u_{1}y_{11}+u_{2}y_{12}+u_{7}y_{13}+u_{8}y_{14}-u_{5}y_{15}-u_{6}y_{16}}
z
4
=
x
4
y
1
+
x
3
y
2
−
x
2
y
3
+
x
1
y
4
+
x
8
y
5
−
x
7
y
6
+
x
6
y
7
−
x
5
y
8
+
u
4
y
9
+
u
3
y
10
−
u
2
y
11
+
u
1
y
12
+
u
8
y
13
−
u
7
y
14
+
u
6
y
15
−
u
5
y
16
{\displaystyle z_{4}=x_{4}y_{1}+x_{3}y_{2}-x_{2}y_{3}+x_{1}y_{4}+x_{8}y_{5}-x_{7}y_{6}+x_{6}y_{7}-x_{5}y_{8}+u_{4}y_{9}+u_{3}y_{10}-u_{2}y_{11}+u_{1}y_{12}+u_{8}y_{13}-u_{7}y_{14}+u_{6}y_{15}-u_{5}y_{16}}
z
5
=
x
5
y
1
−
x
6
y
2
−
x
7
y
3
−
x
8
y
4
+
x
1
y
5
+
x
2
y
6
+
x
3
y
7
+
x
4
y
8
+
u
5
y
9
−
u
6
y
10
−
u
7
y
11
−
u
8
y
12
+
u
1
y
13
+
u
2
y
14
+
u
3
y
15
+
u
4
y
16
{\displaystyle z_{5}=x_{5}y_{1}-x_{6}y_{2}-x_{7}y_{3}-x_{8}y_{4}+x_{1}y_{5}+x_{2}y_{6}+x_{3}y_{7}+x_{4}y_{8}+u_{5}y_{9}-u_{6}y_{10}-u_{7}y_{11}-u_{8}y_{12}+u_{1}y_{13}+u_{2}y_{14}+u_{3}y_{15}+u_{4}y_{16}}
z
6
=
x
6
y
1
+
x
5
y
2
−
x
8
y
3
+
x
7
y
4
−
x
2
y
5
+
x
1
y
6
−
x
4
y
7
+
x
3
y
8
+
u
6
y
9
+
u
5
y
10
−
u
8
y
11
+
u
7
y
12
−
u
2
y
13
+
u
1
y
14
−
u
4
y
15
+
u
3
y
16
{\displaystyle z_{6}=x_{6}y_{1}+x_{5}y_{2}-x_{8}y_{3}+x_{7}y_{4}-x_{2}y_{5}+x_{1}y_{6}-x_{4}y_{7}+x_{3}y_{8}+u_{6}y_{9}+u_{5}y_{10}-u_{8}y_{11}+u_{7}y_{12}-u_{2}y_{13}+u_{1}y_{14}-u_{4}y_{15}+u_{3}y_{16}}
z
7
=
x
7
y
1
+
x
8
y
2
+
x
5
y
3
−
x
6
y
4
−
x
3
y
5
+
x
4
y
6
+
x
1
y
7
−
x
2
y
8
+
u
7
y
9
+
u
8
y
10
+
u
5
y
11
−
u
6
y
12
−
u
3
y
13
+
u
4
y
14
+
u
1
y
15
−
u
2
y
16
{\displaystyle z_{7}=x_{7}y_{1}+x_{8}y_{2}+x_{5}y_{3}-x_{6}y_{4}-x_{3}y_{5}+x_{4}y_{6}+x_{1}y_{7}-x_{2}y_{8}+u_{7}y_{9}+u_{8}y_{10}+u_{5}y_{11}-u_{6}y_{12}-u_{3}y_{13}+u_{4}y_{14}+u_{1}y_{15}-u_{2}y_{16}}
z
8
=
x
8
y
1
−
x
7
y
2
+
x
6
y
3
+
x
5
y
4
−
x
4
y
5
−
x
3
y
6
+
x
2
y
7
+
x
1
y
8
+
u
8
y
9
−
u
7
y
10
+
u
6
y
11
+
u
5
y
12
−
u
4
y
13
−
u
3
y
14
+
u
2
y
15
+
u
1
y
16
{\displaystyle z_{8}=x_{8}y_{1}-x_{7}y_{2}+x_{6}y_{3}+x_{5}y_{4}-x_{4}y_{5}-x_{3}y_{6}+x_{2}y_{7}+x_{1}y_{8}+u_{8}y_{9}-u_{7}y_{10}+u_{6}y_{11}+u_{5}y_{12}-u_{4}y_{13}-u_{3}y_{14}+u_{2}y_{15}+u_{1}y_{16}}
z
9
=
x
9
y
1
−
x
10
y
2
−
x
11
y
3
−
x
12
y
4
−
x
13
y
5
−
x
14
y
6
−
x
15
y
7
−
x
16
y
8
+
x
1
y
9
−
x
2
y
10
−
x
3
y
11
−
x
4
y
12
−
x
5
y
13
−
x
6
y
14
−
x
7
y
15
−
x
8
y
16
{\displaystyle z_{9}=x_{9}y_{1}-x_{10}y_{2}-x_{11}y_{3}-x_{12}y_{4}-x_{13}y_{5}-x_{14}y_{6}-x_{15}y_{7}-x_{16}y_{8}+x_{1}y_{9}-x_{2}y_{10}-x_{3}y_{11}-x_{4}y_{12}-x_{5}y_{13}-x_{6}y_{14}-x_{7}y_{15}-x_{8}y_{16}}
z
10
=
x
10
y
1
+
x
9
y
2
+
x
12
y
3
−
x
11
y
4
+
x
14
y
5
−
x
13
y
6
−
x
16
y
7
+
x
15
y
8
+
x
2
y
9
+
x
1
y
10
+
x
4
y
11
−
x
3
y
12
+
x
6
y
13
−
x
5
y
14
−
x
8
y
15
+
x
7
y
16
{\displaystyle z_{10}=x_{10}y_{1}+x_{9}y_{2}+x_{12}y_{3}-x_{11}y_{4}+x_{14}y_{5}-x_{13}y_{6}-x_{16}y_{7}+x_{15}y_{8}+x_{2}y_{9}+x_{1}y_{10}+x_{4}y_{11}-x_{3}y_{12}+x_{6}y_{13}-x_{5}y_{14}-x_{8}y_{15}+x_{7}y_{16}}
z
11
=
x
11
y
1
−
x
12
y
2
+
x
9
y
3
+
x
10
y
4
+
x
15
y
5
+
x
16
y
6
−
x
13
y
7
−
x
14
y
8
+
x
3
y
9
−
x
4
y
10
+
x
1
y
11
+
x
2
y
12
+
x
7
y
13
+
x
8
y
14
−
x
5
y
15
−
x
6
y
16
{\displaystyle z_{11}=x_{11}y_{1}-x_{12}y_{2}+x_{9}y_{3}+x_{10}y_{4}+x_{15}y_{5}+x_{16}y_{6}-x_{13}y_{7}-x_{14}y_{8}+x_{3}y_{9}-x_{4}y_{10}+x_{1}y_{11}+x_{2}y_{12}+x_{7}y_{13}+x_{8}y_{14}-x_{5}y_{15}-x_{6}y_{16}}
z
12
=
x
12
y
1
+
x
11
y
2
−
x
10
y
3
+
x
9
y
4
+
x
16
y
5
−
x
15
y
6
+
x
14
y
7
−
x
13
y
8
+
x
4
y
9
+
x
3
y
10
−
x
2
y
11
+
x
1
y
12
+
x
8
y
13
−
x
7
y
14
+
x
6
y
15
−
x
5
y
16
{\displaystyle z_{12}=x_{12}y_{1}+x_{11}y_{2}-x_{10}y_{3}+x_{9}y_{4}+x_{16}y_{5}-x_{15}y_{6}+x_{14}y_{7}-x_{13}y_{8}+x_{4}y_{9}+x_{3}y_{10}-x_{2}y_{11}+x_{1}y_{12}+x_{8}y_{13}-x_{7}y_{14}+x_{6}y_{15}-x_{5}y_{16}}
z
13
=
x
13
y
1
−
x
14
y
2
−
x
15
y
3
−
x
16
y
4
+
x
9
y
5
+
x
10
y
6
+
x
11
y
7
+
x
12
y
8
+
x
5
y
9
−
x
6
y
10
−
x
7
y
11
−
x
8
y
12
+
x
1
y
13
+
x
2
y
14
+
x
3
y
15
+
x
4
y
16
{\displaystyle z_{13}=x_{13}y_{1}-x_{14}y_{2}-x_{15}y_{3}-x_{16}y_{4}+x_{9}y_{5}+x_{10}y_{6}+x_{11}y_{7}+x_{12}y_{8}+x_{5}y_{9}-x_{6}y_{10}-x_{7}y_{11}-x_{8}y_{12}+x_{1}y_{13}+x_{2}y_{14}+x_{3}y_{15}+x_{4}y_{16}}
z
14
=
x
14
y
1
+
x
13
y
2
−
x
16
y
3
+
x
15
y
4
−
x
10
y
5
+
x
9
y
6
−
x
12
y
7
+
x
11
y
8
+
x
6
y
9
+
x
5
y
10
−
x
8
y
11
+
x
7
y
12
−
x
2
y
13
+
x
1
y
14
−
x
4
y
15
+
x
3
y
16
{\displaystyle z_{14}=x_{14}y_{1}+x_{13}y_{2}-x_{16}y_{3}+x_{15}y_{4}-x_{10}y_{5}+x_{9}y_{6}-x_{12}y_{7}+x_{11}y_{8}+x_{6}y_{9}+x_{5}y_{10}-x_{8}y_{11}+x_{7}y_{12}-x_{2}y_{13}+x_{1}y_{14}-x_{4}y_{15}+x_{3}y_{16}}
z
15
=
x
15
y
1
+
x
16
y
2
+
x
13
y
3
−
x
14
y
4
−
x
11
y
5
+
x
12
y
6
+
x
9
y
7
−
x
10
y
8
+
x
7
y
9
+
x
8
y
10
+
x
5
y
11
−
x
6
y
12
−
x
3
y
13
+
x
4
y
14
+
x
1
y
15
−
x
2
y
16
{\displaystyle z_{15}=x_{15}y_{1}+x_{16}y_{2}+x_{13}y_{3}-x_{14}y_{4}-x_{11}y_{5}+x_{12}y_{6}+x_{9}y_{7}-x_{10}y_{8}+x_{7}y_{9}+x_{8}y_{10}+x_{5}y_{11}-x_{6}y_{12}-x_{3}y_{13}+x_{4}y_{14}+x_{1}y_{15}-x_{2}y_{16}}
z
16
=
x
16
y
1
−
x
15
y
2
+
x
14
y
3
+
x
13
y
4
−
x
12
y
5
−
x
11
y
6
+
x
10
y
7
+
x
9
y
8
+
x
8
y
9
−
x
7
y
10
+
x
6
y
11
+
x
5
y
12
−
x
4
y
13
−
x
3
y
14
+
x
2
y
15
+
x
1
y
16
{\displaystyle z_{16}=x_{16}y_{1}-x_{15}y_{2}+x_{14}y_{3}+x_{13}y_{4}-x_{12}y_{5}-x_{11}y_{6}+x_{10}y_{7}+x_{9}y_{8}+x_{8}y_{9}-x_{7}y_{10}+x_{6}y_{11}+x_{5}y_{12}-x_{4}y_{13}-x_{3}y_{14}+x_{2}y_{15}+x_{1}y_{16}}
waar de
u
i
{\displaystyle u_{i}}
gelijk zijn aan,
u
1
=
1
c
(
(
a
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
)
x
9
−
2
x
1
(
b
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
)
{\displaystyle u_{1}={\frac {1}{c}}\left((ax_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{9}-2x_{1}(bx_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\right)}
u
2
=
1
c
(
(
x
1
2
+
a
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
)
x
10
−
2
x
2
(
x
1
x
9
+
b
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
)
{\displaystyle u_{2}={\frac {1}{c}}\left((x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{10}-2x_{2}(x_{1}x_{9}+bx_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\right)}
u
3
=
1
c
(
(
x
1
2
+
x
2
2
+
a
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
)
x
11
−
2
x
3
(
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
b
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
)
{\displaystyle u_{3}={\frac {1}{c}}\left((x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+ax_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{11}-2x_{3}(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+bx_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\right)}
u
4
=
1
c
(
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
a
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
)
x
12
−
2
x
4
(
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
b
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
)
{\displaystyle u_{4}={\frac {1}{c}}\left((x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+ax_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{12}-2x_{4}(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+bx_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\right)}
u
5
=
1
c
(
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
a
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
)
x
13
−
2
x
5
(
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
b
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
)
{\displaystyle u_{5}={\frac {1}{c}}\left((x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+ax_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{13}-2x_{5}(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+bx_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\right)}
u
6
=
1
c
(
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
a
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
)
x
14
−
2
x
6
(
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
b
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
)
{\displaystyle u_{6}={\frac {1}{c}}\left((x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+ax_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{14}-2x_{6}(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+bx_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\right)}
u
7
=
1
c
(
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
a
x
7
2
+
x
8
2
)
x
15
−
2
x
7
(
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
b
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
)
{\displaystyle u_{7}={\frac {1}{c}}\left((x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+ax_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{15}-2x_{7}(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+bx_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\right)}
u
8
=
1
c
(
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
a
x
8
2
)
x
16
−
2
x
8
(
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
b
x
8
x
16
)
)
{\displaystyle u_{8}={\frac {1}{c}}\left((x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+ax_{8}^{2})x_{16}-2x_{8}(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+bx_{8}x_{16})\right)}
en
a
=
−
1
,
b
=
0
,
c
=
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
.
{\displaystyle a=-1,\;\;b=0,\;\;c=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\,.}
De
u
i
{\displaystyle u_{i}}
dan gehoorzamen aan
u
1
2
+
u
2
2
+
u
3
2
+
u
4
2
+
u
5
2
+
u
6
2
+
u
7
2
+
u
8
2
=
x
9
2
+
x
10
2
+
x
11
2
+
x
12
2
+
x
13
2
+
x
14
2
+
x
15
2
+
x
16
2
{\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}+u_{5}^{2}+u_{6}^{2}+u_{7}^{2}+u_{8}^{2}=x_{9}^{2}+x_{10}^{2}+x_{11}^{2}+x_{12}^{2}+x_{13}^{2}+x_{14}^{2}+x_{15}^{2}+x_{16}^{2}\,}
De identiteit laat dus zien dat het product van twee sommen van zestien kwadraten in het algemeen de som is van zestien rationale kwadraten. Als alle
x
i
,
y
i
{\displaystyle x_{i},y_{i}}
met
i
>
8
{\displaystyle i>8}
gelijk worden gesteld aan nul , dan reduceert deze identiteit tot de acht-kwadratenidentiteit van Degen .
Er bestaat geen zestien kwadratenidentiteit waarbij alleen bilineaire functies betrokken zijn aangezien de stelling van Hurwitz laat zien dat een identiteit van de vorm
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
⋯
+
x
n
2
)
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
+
⋯
+
y
n
2
)
=
z
1
2
+
z
2
2
+
z
3
2
+
⋯
+
z
n
2
{\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}}
met de
z
i
{\displaystyle z_{i}}
bilineair functies van de
x
i
{\displaystyle x_{i}}
en
y
i
{\displaystyle y_{i}}
alleen mogelijk is voor n ∈ {1, 2, 4, 8}.
De meer algemenere stelling van Pfister (1965) laat echter zien dat als de
z
i
{\displaystyle z_{i}}
rationale functies zijn van slechts één verzameling van variabelen, (dus een noemer heeft), dat het dan mogelijk is voor alle
n
=
2
m
{\displaystyle n=2^{m}}
.[ 3] Er bestaan dus ook niet-bilineaire versies van de vier-kwadratenidentiteit van Euler en de acht-kwadratenidentiteit van Degen.
Zie ook
Voetnoten
↑ H. Zassenhaus en W. Eichhorn , Herleitung von Acht- und Sechzehn-Quadrate-Identitäten mit Hilfe von Eigenschaften der verallgemeinerten Quaternionen und der Cayley-Dicksonchen Zahlen , Arch. Math. 17 (1966), blz. 492-496
↑ A. Pfister , Zur Darstellung von -1 als Summe von Quadraten in einem Körper , 'J. London Math. Soc. 40 (1965), blz. 159-165
↑ Keith Conrad , Pfister's Theorem on Sums of Squares, Keith Conrad , (zie hier)
Externe link