Areaalfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De areaalfuncties zijn de inverse functies van de hyperbolische functies. Hyperbolische functies worden gedefinieerd worden door middel van exponentiële functies, en dit op een manier die het mogelijk maakt dat de areaalfuncties door middel van logaritmen kunnen beschreven worden. Dit komt doordat exponentiële functies en logaritmes elkaars inverse functies zijn.

Benaming en notatie[bewerken]

Een punt op de standaard hyperbool bepaalt een wigvorming gebied waarvan de oppervlakte gelijk is aan de inverse van de cosinus hyperbolicus en van de sinus hyperbolicus

De standaardhyperbool

x^2-y^2=1 \!

kan in parametervorm geschreven worden

x \, = \, \cosh(t) \quad ;  \quad y \, = \, \sinh(t)

Neemt men bijvoorbeeld t = A, dan krijgt men een punt zoals aangegeven op bijgaande figuur. Dit punt bepaalt op zijn beurt een gebied zoals het blauwe gebied op nevenstaande figuur. De oppervlakte van dit blauw gebied, dit blauw areaal blijkt gelijk aan A te zijn. De coördinaten (x,y) van een punt op de standaardparabool zijn dus verbonden met de grootte van deze blauw gekleurde oppervlakte:

x \, = \, \cosh(A) \quad ;  \quad y \, = \, \sinh(A)

Als men van deze functie dus de inverse neemt vindt men:

A \, = \, \cosh^{-1}(x) \quad ;  \quad A \, = \, \sinh^{-1}(y)

De inverse functies van de cosinus- en de sinus hyperbolicus geven dus als resultaat een oppervlakte, een areaal. Vandaar dat deze inverse functies areaalfuncties genoemd worden. Naast het prefix "areaal" wordt ook "area" gebruikt, zoals in "areasinus hyperbolicus". Dit is bijvoorbeeld het geval in het Duits en het Engels.

Verschillende wiskundige notaties zijn in gebruik:

  • Naar analogie met de cyclometrische functies, de inverse functies van de goniometrische functies, worden de areaalfuncties dikwijls genoteerd door het prefix arc voor de notatie van de corresponderende hyperbolische functie te plaatsen, bijvoorbeeld arcsinh(x) voor de areaalsinus hyperbolicus.
  • Andere bronnen gebruiken het prefix ar, zoals bijvoorbeeld arsinh(x). Deze notatie beantwoordt beter aan de idee van een oppervlakte. De inverse hyperbolische functies hebben immers niets met een boog (arc) te maken, maar wel met een areaal, een oppervlakte.
  • Soms ziet men ook het prefix arg, dat staat voor argument.
  • Nog een ander prefix dat soms gebruikt wordt is a, bijvoorbeeld asinh(x) voor de areaalsinus hyperbolicus.
  • De notatie als inverse functie, zoals bijvoorbeeld \sinh^{-1}(x) kan verwarrend overkomen omdat ze foutief kan worden geïnterpreteerd als 1/\sinh(x).

In dit artikel is consequent voor de notatie met prefix ar gekozen.

Definities door middel van natuurlijke logaritmen[bewerken]

Links: rood: arsinh(x) is een oneven functie die loopt van linksonder tot rechtsboven, blauw: arcosh(x), een functie die enkel bestaat voor x groter of gelijk aan 1. Midden: rood: atanh(x), het gedeelte op het interval -1,1, blauw: arcth(x), de twee gedeelten buiten het interval [-1,1]. Rechts: rood: arsech(x, van het punt (1,0) naar de y-as, blauw: arcsch(x), een functie met oneven symmtrie

De zes areaalfuncties kunnen dus worden uitgedrukt door middel van de natuurlijke logaritme. Deze uitdrukkingen zijn in een aantal gevallen wel beperkt tot een bepaald domein.

  • Areaalsinus hyperbolicus:
\operatorname {arsinh} \, x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)
Het domein en het beeld zijn beiden \mathbb{R}. Deze functie heeft oneven symmetrie.
  • Areaalcosinus hyperbolicus:
Gezien de inverse relatie van de cosinus hyperbolicus zelf geen functie is, dient de cosinus hyperbolicus beperkt te worden vooraleer een inverse functie kan gedefinieerd worden. De areaalcosinus hyperbolicus ontstaat daarom door enkel de rechterhelft van de cosinus hyperbolicus te inverteren.
\operatorname {arcosh} \, x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right)
Het domein is [1,\infty[ \!, het beeld is \mathbb{R}^+
  • Areaaltangens hyperbolicus:
\operatorname {artanh} \, x = \frac{1}{2}\ln  \frac{1+x}{1-x}
Het domein is ]-1,1[ \! , het beeld is \mathbb{R}. Merk op dat het functievoorschrift van artanh(x) hetzelfde is als dat van de arcoth(x). Het verschil tussen beide functies zit in het verschillend domein. Deze functie heeft oneven symmetrie.
  • Areaalcotangens hyperbolicus:
\operatorname {arcoth} \, x = \frac{1}{2}\ln  \frac{x+1}{x-1}
Het domein is \mathbb{R} \, \setminus  \, [-1,1], het beeld is \mathbb{R}_o. Merk op dat het functievoorschrift van arcoth(x) hetzelfde is als dat van de artanh(x). Het verschil tussen beide functies zit in het verschillend domein. Deze functie heeft oneven symmetrie.
  • Areaalsecans hyperbolicus:
Gezien de secans hyperbolicus zelf geen monotone functie is, dient hij beperkt te worden vooraleer een inverse functie kan gedefinieerd worden. De areaalsecans hyperbolicus ontstaat daarom door enkel de rechterhelft van de secans hyperbolicus te inverteren.
\operatorname {arsech} \, x=\ln  \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}
Het domein is ]0,1] \! , het domein is \mathbb{R}^+.
  • Areaalcosecans hyperbolicus:
\operatorname {arcsch} \, x=\ln \left( \frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)
Het domein en het beeld zijn beiden \mathbb{R}_o. Deze functie heeft oneven symmetrie.

Eigenschappen[bewerken]

Afgeleiden[bewerken]

\frac{d}{dx}\, \operatorname {arsinh}(x) \, =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname {arcosh}(x) \, =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname {artanh}(x) \, =\frac{1}{1-x^{2}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname {arcoth}(x) \, =\frac{1}{1-x^{2}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname {arsech}(x)\, =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname {arcsch}(x) \, =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}

Integralen[bewerken]

De integralen van de areaalfuncties kunnen allen berekend worden met de techniek van partiële integratie.

\int \operatorname {arsinh}(x) dx \, = \, x\ \operatorname {arsinh}(x) \, - \, \sqrt{x^2+1} \, + \, C
\int \operatorname {arcosh}(x) dx \, = \, x\ \operatorname {arcosh}(x) \, - \, \sqrt{x^2-1} \, + \, C
\int \operatorname {artanh}(x) dx \, = \, x\ \operatorname {artanh}(x) \, + \, \frac{1}{2} \operatorname {ln}(1-x^2) \, + \, C
\int \operatorname {arcoth}(x) dx \, = \, x\ \operatorname {arcoth}(x) \, + \, \frac{1}{2} \operatorname {ln}(x^2-1) \, + \, C
\int \operatorname {arsech}(x) dx \, = \, x\ \operatorname {arsech}(x) \, - \, \operatorname {arctan} (\sqrt{\frac{1}{x}-1} \sqrt{\frac{1}{x}+1}) \, + \, C
\int \operatorname {arcsch}(x) dx \, = \, x\ \operatorname {arcsch}(x) \, + \, \operatorname {ln}(x+x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}) \, + \, C

Som- en verschilformules[bewerken]

\operatorname {arsinh}(x) \, + \, \operatorname {arsinh}(y) \, = \, \operatorname {arsinh}(x \sqrt{1+y^2} \, + \, y \sqrt{1+x^2})
\operatorname {arsinh}(x) \, - \, \operatorname {arsinh}(y) \, = \, \operatorname {arsinh}(x \sqrt{1+y^2} \, - \, y \sqrt{1+x^2})
\operatorname {arcosh}(x) \, + \, \operatorname {arcosh}(y) \, = \, \operatorname {arcosh}(xy+\sqrt{x^2-1} \sqrt{y^2-1})
\operatorname {arcosh}(x) \, - \, \operatorname {arcosh}(y) \, = \, \operatorname {arcosh}(xy-\sqrt{x^2-1} \sqrt{y^2-1})
\operatorname {artanh}(x) \, + \, \operatorname {artanh}(y) \, = \, \operatorname {artanh}(\frac{x+y}{1+xy})
\operatorname {artanh}(x) \, - \, \operatorname {artanh}(y) \, = \, \operatorname {artanh}(\frac{x-y}{1-xy})

Onderlinge omzettingen[bewerken]

Bij het gebruik van deze uitdrukkingen moet rekening gehouden worden met de eventuele beperkingen op het domein van deze functies.

  • Areaalsinus hyperbolicus
{\rm arsinh}(x) \, = \, \pm {\rm arcosh}(\sqrt{x^2+1}) \, = \, {\rm artanh}(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})
  • Areaalcosinus hyperbolicus
{\rm arcosh}(x) \, = \, {\rm arsinh}(\sqrt{x^2-1}) \, = \, {\rm artanh}(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x})
  • Areaaltangens hyperbolicus
{\rm artanh}(x) \, = \, {\rm arsinh}(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}) \, = \, \pm {\rm arcosh}(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) \, = \, {\rm arcoth}(\frac{1}{x})
  • Areaalcotangens hyperbolicus
{\rm arcoth}(x) \, = \, {\rm arsinh}(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}) \, = \, \pm {\rm arcosh}(\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}) \, = \, {\rm artanh}(\frac{1}{x})

Reeksonwtikkelingen[bewerken]

Enkel de areaalsinus hyperbolicus en de areaaltangens hyperbolicus kunnen probleemloos rond x= 0 worden ontwikkeld. De reeksen zijn dan:

\operatorname{arsinh}(x) \, = \, \sum_{n=0}^\infty \, \frac{(-1)^n}{2n+1} \,  \frac{1.3.5..(2n-1)}{2.4.6...(2n)} \, x^{2n+1}
\operatorname{artanh}(x) \, = \, \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \, ; \, |x|<1

Voor meer reeksontwikkelingen, zie onderstaande externe link.

Samenstellingen[bewerken]

Samenstellingen van hyperbolische en areaalfuncties leveren irrationale functievoorschriften:

\sinh(\operatorname{arcosh}(x)) = \sqrt{x^{2} - 1}  \quad : \quad x \geq 1
\sinh(\operatorname{artanh}(x)) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad : \quad -1 < x < 1
\cosh(\operatorname{arsinh}(x)) = \sqrt{1+x^{2}}
\cosh(\operatorname{artanh}(x)) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad : \quad -1 < x < 1
\tanh(\operatorname{arsinh}(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}
\tanh(\operatorname{arcosh}(x)) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} \quad : \quad x \geq 1

Limieten[bewerken]

Twee standaardlimieten die areaalfuncties bevatten zijn:

\lim_0 \, \frac{\operatorname{arsinh}(x)}{x} \, = \, 1
\lim_0 \, \frac{\operatorname{artanh}(x)}{x} \, = \, 1

Beiden volgen uit de soortgelijke limiet voor de overeenstemmende hyperbolische functie, door middel van een eenvoudige substitutie.

Externe link[bewerken]

  • Wolfram Mathworld: De pagina over de areaalfuncties op de website van Wolfram Mathworld bevat doorverwijzingen ('see also') naar gedetailleerde informatie over de individuele areaalfuncties, met onder andere de reeksontwikkelingen.