Deltoïde

Constructie van een deltoïde

De deltoïde is een kromme in het platte vlak die ontstaat door een kleine cirkel met straal $r$ binnenin een grotere cirkel met een straal $R$ te laten wentelen, die drie keer zo groot is als de straal van de kleine cirkel: $R=3r$. De deltoïde is een cycloïde, een hypocycloïde. De naam deltoïde komt van de Griekse letter delta Δ.

Vergelijkingen

De deltoïde kan, zoals alle krommen, door een vergelijking worden beschreven. Als de oorsprong het middelpunt is van de grote cirkel met straal $3a$ en $x(0)=3a$ geldt voor $t\in (-\pi ,\pi ]$:

Parametervergelijking

De parametervergelijking van de deltoïde wordt gegeven door:

$x=2a\cos(t)+a\cos(2t)$

$y=2a\sin(t)-a\sin(2t)$

waarin $a$ de straal is van de kleine cirkel.

Complexe coördinaten

De parametervergelijking in complexe coördinaten wordt gegeven door:

$z=2ae^{it}+ae^{-2it}$

Cartesiaanse coördinaten

De cartesiaanse vergelijking voor de deltoïde luidt:

$(x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2})$

waarmee het een algebraïsche kromme van de vierde graad is. Deze vergelijking kan worden afgeleid door de parameter $t$ uit de parametervoorstelling te elimineren.

Kenkerken

• De deltoïde bezit drie singulariteiten, corresponderend met de punten $t=0$ en $t=\pm {\tfrac {2}{3}}\pi$.
• De oppervlakte van het gebied binnen een deltoïde is in overeenstemming met de oppervlakte voor een hypocycloïde $A_{3}={\tfrac {2}{9}}\pi a^{2}$.
• De booglengte van de deltoïde wordt gegeven door $S(t)={\tfrac {16}{9}}\sin ^{2}\left({\tfrac {3}{4}}t\right)$.

Websites

• MathWorld. Deltoid.