Deltoïde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Constructie van een deltoïde.

De deltoïde is een wiskundige planaire kromme die ontstaat door een kleine cirkel met straal r te laten wentelen binnenin een grote cirkel met straal R en waarbij geldt dat R = 3r. De deltoïde ontleent zijn naam aan de Griekse letter delta (Δ).

Vergelijkingen[bewerken]

De deltoïde kan, zoals alle curves, beschreven worden door een vergelijking.

Parametervergelijking[bewerken]

De parametervergelijking van de deltoïde wordt gegeven door:

x=2a\cos(t)+a\cos(2t) \,
y=2a\sin(t)-a\sin(2t)\,

waarbij a de straal is van de kleine cirkel.

Complexe coördinaten[bewerken]

De parametervergelijking in complexe coördinaten wordt gegeven door:

z=2ae^{it}+ae^{-2it} \,

De variabele t kan hierin geëlimineerd worden door gebruik te maken van de Cartesiaanse coördinaten:

(x^2+y^2)^2+18a^2(x^2+y^2)-27a^4 = 8a(x^3-3xy^2)\,

waarmee het een algebraïsche curve van de vierde graad is.

Singulariteiten[bewerken]

De deltoïde bezit 3 singulariteiten, corresponderend met volgende punten:

t = 0 \,

en

t = \pm \tfrac{2\pi}{3}

Oppervlakte[bewerken]

De oppervlakte van het gebied binnen de curve wordt gegeven door:

A_n = \frac{(n-1)(n-2)}{n^2} \pi a^2

Voor n = 3 (de deltoïde) wordt dit:

A_3 = \frac{2}{9} \pi a^2

Booglengte[bewerken]

De booglengte van de deltoïde wordt gegeven door:

S(t) = \frac{16}{9} \sin^2 \left(\frac{3}{4} t \right)

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]