Eindige-elementenmethode

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De eindige-elementenmethode (e.e.m.) is een rekenmethode waarmee partiële differentiaalvergelijkingen en integraalvergelijkingen kunnen worden opgelost. Belangrijke toepassingen hiervan vindt men in de ingenieurswetenschappen, waar men deze methode bijvoorbeeld gebruikt om de sterkte-eigenschappen van ingewikkelde constructies te berekenen. De methode is ontwikkeld, omdat analytische rekenmethoden onvoldoende mogelijkheden bieden, of te complexe berekeningen vergen. De methode vindt zijn toepassing bij sterkteberekeningen, maar ook bij elektromagnetisme, warmteleer, stromingsleer en nog vele andere disciplines.

Het is wiskundig aan te tonen dat bij het verkleinen van de elementen de oplossing die met de e.e.m. wordt bereikt, nadert tot de analytisch juiste oplossing (convergentie). Toch kunnen er bij onjuiste modellering fouten worden gemaakt die ernstige gevolgen kunnen hebben.

Toepassingen[bewerken]

Voorbeeld van een eindige-elementenberekening. Een thermo-mechanisch probleem: een blokje metaal wordt vooral in het centrum verhit en gekoeld via kleine koelkanaaltjes.
1 Het "maken" (programmeren) van een model,
2 Het rekenprogramma verdeelt het model in kleine elementjes.
3 Na het aanbrengen van thermische belasting en de koeling berekent het programma de temperatuurverdeling in °C) en
4 mechanische spanningen in MPa)
5 De vervorming wordt overdreven weergegeven.

De methode wordt met name ingezet in de werktuigbouwkunde en vindt toepassingen in de luchtvaartindustrie, de ruimtevaart, de scheepvaart, de weg- en waterbouwkunde etc. Met de eindige-elementenmethode kan bijvoorbeeld het gewicht van een constructie worden geoptimaliseerd, hetgeen een groot effect kan hebben op de kosten of de omvang van de constructie.

Er zijn vele types berekening:

  • lineaire statische sterkteberekeningen (het meest gebruikte type berekening)
  • Niet-lineaire berekeningen, waarbij ook plastisch gedrag wordt meeberekend
  • eigenfrequentiebepaling
  • thermische berekening
  • knikberekening
  • schok (tijdafhankelijke berekening)
  • elektrostatische en -dynamische berekeningen
  • combinaties van bovengenoemde (multiphysics)

Werking van de methode[bewerken]

De eindige-elementenmethode deelt een constructie op in een beperkt (eindig) aantal elementen en koppelt deze elementen aan elkaar door middel van knooppunten (nodes). Aan deze koppelingen wordt, afhankelijk van het soort element, een aantal eisen gesteld. In elk geval moeten de nodes van de elementen tegelijk met elkaar verplaatsen. Het bepalen van de knooppunten en koppelingen komt overeen met het bepalen van een rooster.

Door deze methodiek is het mogelijk het gedrag van een complexe constructie te benaderen middels een matrixvergelijking.

In het geval van een lineair statische berekening houdt de matrixvergelijking de volgende in:

[K]{u} = {F}

Waarbij [K] de stijfheidsmatrix voor het gehele systeem, {u} de verplaatsingen van de knooppunten in de afzonderlijke richtingen en {F} de belastingen (krachten / momenten) op de knooppunten in alle richtingen.

Doel is bepaling van de verplaatsingsvector {u} om daaruit de spanningen en rekken te kunnen bepalen en daarmee de sterkte van de constructie bij belasting {F}.

Om een nauwkeurige berekening te doen, moeten de elementen voldoende klein gekozen worden. Daardoor worden de rekenmodellen over het algemeen wel groot.

Types elementen[bewerken]

De elementen die gebruikt worden in deze methoden al naargelang het aantal dimensies (D) zijn:

  • (1D) Staafelementen
  • (2D) Oppervlakte-elementen (driehoekig of met vier hoekpunten)
  • (3D) Volume-elementen (tetraëder of kubus)

Elk element krijgt op basis van de getekende geometrie, de (niet getekende) geometrische parameters als plaatdikte, doorsnede e.d., het gebruikte materiaal, de stijfheidseigenschappen toegewezen. Bij het uitvoeren van een dynamische berekening is het nodig om ook gewichtseigenschappen toe te wijzen. Bij een thermische berekening moeten uiteraard de thermische eigenschappen worden weergeven.

In het algemeen bieden 2D-elementen (2D-modellen) grote voordelen vanwege zeer korte rekentijd. Echter dan dienen geometrie, randvoorwaarden en belasting alle 2D te zijn. Het probleem mag zowel prismatisch als axisymmetrisch zijn.

Er wordt verder onderscheid gemaakt tussen zogenaamde H-elementen en P-elementen:

  • H-elementen hebben een vaste instelling voor de verplaatsingsfunctie (bijv 1e-, 2e-, 3e-orde polynoom), door de gebruiker ingesteld. Hogere rekennauwkeurigheid wordt gebruikt door fijner te meshen, dus kleinere elementen te genereren.
  • De P-methode heeft een variabele polynoom en kent complexere elementvormen. Hogere nauwkeurigheid wordt bereikt door de polynoom te vergroten.

Het meest toegepast wordt de H-methode, vermoedelijk vanwege de eenvoudigere wiskunde.

Geschiedenis[bewerken]

De methodiek is ontstaan omstreeks 1940, voordat computers bestonden. Sinds de intrede van de PC heeft de eindige-elementenmethode (In het Engels: "Finite Element Method" (FEM) / of "Finite Element Analysis") een grote vlucht genomen. Vooral de koppeling aan een 3D Computer Aided Design (CAD) pakket biedt grote voordelen: het moeizame opbouwen van geometrie is niet meer nodig, waardoor snel de invloed van ontwerpwijzigingen op de resultaten (spanningen / resonanties / temperaturen / verplaatsingen / doorbuiging) kan worden bepaald.

Problemen[bewerken]

Vooral een juiste bepaling van de belasting die op de structuur of het onderdeel inwerkt is cruciaal voor de betrouwbaarheid van een berekening. Daarbij worden dan ook veelal benaderingen gemaakt, bijvoorbeeld aannames over de maximale:

  • windkracht op een hoog gebouw
  • kracht van een aardbeving
  • belasting van een brug door een trein of ander zwaar voertuig
  • krachten op een vliegtuigvleugel in omstandigheden zoals onweer.

De post-processing is evenzeer van cruciaal belang. Dit is het proces waarbij de gebruiker zelf de onvolkomenheden van de software in rekening brengt en op deze manier een juiste oplossing bekomt.

Met software moet vaak zeer veel informatie worden ingelezen waarbij een slogan onthouden moet worden: onzin in = onzin uit.

Rekenpakketten[bewerken]

Er zijn diverse rekenpakketten commercieel verkrijgbaar, bijvoorbeeld ABAQUS, Algor, Ansys, CheFEM, COMSOL, DIANA, SAMCEF, SCIA Engineer, Nastran en Siemens NX CAE. Open source pakketten zijn Z88, SLFFEA, YADE, FEniCS, deal.II, freeFEM en Code-Aster.

In dit voorbeeld werden de normaalkrachten in een constructie bepaald:

Eindige elementen vakwerk.png