Gebruiker:Daaf Spijker/Kladblok/Formules

1/7[bewerken | brontekst bewerken]

{\frac {1}{7}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {7\cdot 2^{n}}{100^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }7\cdot 50^{-n}

Nu is de breuk ${\tfrac {1}{7}}$ ook te schrijven als:

{\frac {1}{7}}={\frac {7}{49}}={\frac {\frac {7}{50}}{\frac {49}{50}}}={\frac {\frac {7}{50}}{1-{\frac {1}{50}}}}

Met $a={\tfrac {7}{50}}$ en $r={\tfrac {1}{50}}$ is dan:

{\frac {1}{7}}={\frac {a}{1-r}}

Het rechterlid is de somformule voor convergente meetkundige rijen met beginterm $a$ en factor (reden) $r$ . Daarmee blijkt:

{\frac {1}{7}}={\frac {7}{50}}+{\frac {7}{50^{2}}}+{\frac {7}{50^{3}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {7}{50^{n}}}

Of ook:

{\frac {1}{7}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {7\cdot 2^{n}}{100^{n}}}={\frac {14}{100}}+{\frac {28}{100^{2}}}+{\frac {56}{100^{3}}}+\cdots

== repetendums in OEiS

Plus klein[bewerken | brontekst bewerken]

{\scriptstyle +}\infty

b{\stackrel {+}{a}}b

Parser[bewerken | brontekst bewerken]

{{#expr: -3^2}} = 9

{{#expr: (-1)*3^2}} = -9

{{#expr: -(3^2)}} = -9

Parasieten[bewerken | brontekst bewerken]

n	kleinste n-parasitisch getal	aantal cijfers
1	1	1
2	105.263.157.894.736.842	18
3	1.034.482.758.620.689.655.172.413.793	28
4	102.564	6
5	142.857	6
6	1016.949152.542372.881355.932203.389830.508474.576271.186440.677966	58
7	1.014.492.753.623.188.405.797	22
8	1.012.658.227.848	13
9	10.112359.550561.797752.808988.764044.943820.224719	44

Breuk[bewerken | brontekst bewerken]

{\frac {3}{41}}

, gevolgd door

{\tfrac {3}{41}}

en inline ³⁄₄₁ een diagonaalbreuk

en daarin past natuurlijk math: ^$3$⁄_$41$

kijk eens

{}^{3}/_{5}

, maar deze vind ik ook wat groot

en dan ook de te grote

{\cfrac {1}{2}}

voor kettingbreuk; vergelijk

{\frac {1}{2}}

kettingbreuk

a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {2}{a_{3}+{\cfrac {3}{a_{4}}}}}}}

a{\Big /}b

\int _{a}^{b}xdx

::

\int _{a}^{b}{\frac {\frac {1}{2}}{\frac {\ln({\frac {x}{y}})}{2}}}\,{\text{d}}x

Oneindig product[bewerken | brontekst bewerken]

${\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {15}{16}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot \ \cdots =\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left(\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\cdot \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\right)\\&=\lim _{N\to \infty }\left(\left\{{{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot \ \cdots \ \cdot {\frac {N-2}{N-1}}\cdot {\frac {N-1}{N}}}\right\}\cdot \left\{{{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot \ \cdots \ \cdot {\frac {N}{N-1}}\cdot {\frac {N+1}{N}}}\right\}\right)\\&=\lim _{N\to \infty }\left({\frac {1}{N}}\cdot {\frac {N+1}{2}}\right)\\&=\lim _{N\to \infty }{\frac {N+1}{2N}}\\&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

Addendum - Rij (wiskunde)[bewerken | brontekst bewerken]

Opmerking. Als in de context direct duidelijk is dat er sprake is van rijen, dan wordt een rij $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ vaak zonder haakjes genoteerd. Dus als:

a_{1},a_{2},a_{3},\dots

Dit is ook het geval in teksten die gebruikt worden in het voortgezet c.q. secundair onderwijs. Ook wordt hier wel een notatie/definitie gebruikt met behulp een functie op de natuurlijke (of op de gehele) getallen:

a_{n}=f(n),\quad {\text{met }}n=1,2,\dots

Het functievoorschrift van $f$ wordt dan ook wel de directe formule van $(a_{n})$ genoemd. Bij grafische rekenmachines hebben rijen meestal de namen $u,v,w$ .^[1] Voorbeelden, voor $n=1,2,3,\dots$ :

u_{n}=5n-3n^{2}

v_{n}=100\cdot 1{,}05^{n-1}

Als een rij niet convergeert dan divergeert hij.^[2] Voor een divergente rij zijn er de volgende mogelijkheden.

Als de rij uit reële getallen bestaat

De elementen van de rij worden onbeperkt groot en convergeren derhalve niet naar een bepaalde waarde.
- Bijvoorbeeld: $1,2,3,4,5,6,7,\ldots$ $1,2,3,4,5,6,7,\ldots$ ; dus $a_{n}=n\quad (n=1,2,\ldots )$ $a_{n}=n\quad (n=1,2,\ldots )$ .
  - De rij is divergent naar oneindig.
De elementen van de rij worden onbeperkt kleiner, zonder naar een bepaalde waarde te convergeren.
- Bijvoorbeeld: $-1,-2,-4,-8,-16,-32,\ldots$ $-1,-2,-4,-8,-16,-32,\ldots$ ; dus $a_{n}=-2^{n}\quad (n=0,1,\ldots )$ $a_{n}=-2^{n}\quad (n=0,1,\ldots )$ .
  - De rij divergeert nu naar min oneindig.
De rij gaat niet naar oneindig, en niet naar min oneindig.
- Bijvoorbeeld: $1,-1,1,-1,1,-1,\ldots$ $1,-1,1,-1,1,-1,\ldots$ ; dus $a_{n}=(-1)^{n}\quad (n=0,1,\ldots )$ $a_{n}=(-1)^{n}\quad (n=0,1,\ldots )$ .
  - Nu is er simpelweg sprake van een rij die divergeert.

Als de rij uit elementen van een willekeurige metrische ruimte $V$ bestaat

De rij is geen cauchyrij, de rij divergeert.
De rij is een cauchyrij, maar de elementen van de rij naderen naar een buiten $V$ $V$ gelegen waarde. De rij heeft geen limiet in $V$ .
- Bijvoorbeeld: $V$ is het reële interval $(0,\infty )$ en de rij is $1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots$ .

↑ Math4all: Rijen met de TI83/84
↑ S. Caenepeel (2020): Syllabus Analyse I ; blz. 23, def. 3.1.1. Brussel: Vrije Universiteit.

MOOI[bewerken | brontekst bewerken]

$P={{{\rm {booglengte}}(EOD)} \over {|FR|}}={\textstyle {1 \over p}}\int _{-\,t}^{t}{{\sqrt {1+{{({\textstyle {{dy} \over {dx}}})}^{2}}}}dx}$

Application[bewerken | brontekst bewerken]

The average distance from a point randomly selected in the unit square to its center is^[1]

d_{\text{avg}}={P \over 6}.

Proof.

{\begin{aligned}d_{\text{avg}}&:=8\int _{0}^{1 \over 2}\int _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&=8\int _{0}^{1 \over 2}{1 \over 2}x^{2}(\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}})\,dx\\&=4P\int _{0}^{1 \over 2}x^{2}\,dx\\&={P \over 6}.\end{aligned}}

Sigma met "hat"[bewerken | brontekst bewerken]

${{\hat {\sigma }}^{2}}={\tfrac {1}{n}}\sum \nolimits _{i=1}^{n}{{({{x}_{i}}-{\hat {\mu }})}^{2}}$

Uniforme notatie[bewerken | brontekst bewerken]

Het kan geen kwaad ook de notatie van formules te uniformeren. Zo zie ik dat:

$\cong$ wordt gebruikt voor "is evenredig met", terwijl op de pagina Tilde staat dat $\sim$ gebruikelijk is;
binnen formules de ene keer witruimte tussen symbolen is aangebracht, en de andere keer niet;
binnen formules de ene keer $\times$ en de andere keer $\cdot$ als vermenigvuldigingsoperator wordt gebruikt;
tiendelige breuken de ene keer met een komma gevolgd door wit en de andere keer zonder volgend wit worden geschreven; bijv $3,14$ versus $3{,}14$ ;
de ene keer een subscript wordt weer gegeven in "normaal" TimesRoman en de andere keer als cursief; dus $P_{\rm {normaal}}$ versus $P_{normaal}$ .

_ DaafSpijker _overleg 19 nov 2019 19:51 (CET)

Meervoudig nulpunt[bewerken | brontekst bewerken]

Een nulpunt $a$ van een polynoom $f$ in $x$ heet meervoudig nulpunt als $f$ deelbaar is door meer dan één factor $x-a$ .

Voorbeeld. Gegeven is de polynoom $f$ van de 6e-graad in $z$ (met $z\in \mathbb {C}$ ):

f(z)=z^{6}+7z^{4}+11z^{2}+5

Voor $z=\pm i$ (dus voor $z^{2}=-1$ ) is dan:

f(\pm i)=-1+7-11+5t=0

en daaruit volgt na staartdeling dat:

f(z)=(z^{2}+1)(z^{4}+6z^{2}+5)

Verder is:

f(z)=(z^{2}+1)^{2}(z^{2}+5)=(z-i)^{2}(z+i)^{2}(z-i\surd {5})(z+i\surd {5})

De polynoom heeft dus twee nulpunten met multipliciteit $2$ en twee nulpunten met multipliciteit $1$ , hetgeen overeenkomt met de graad $6\,(=2\times 2+2\times 1)$ van de polynoom.