Karakteristieke polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra kan men met elke vierkante matrix een karakteristieke polynoom associëren. Deze polynoom bevat enkele specifieke kenmerken van de matrix zoals het spoor en de determinant van de matrix. Het vindt vooral zijn toepassing bij het bepalen van de eigenwaarden.

Definitie[bewerken]

Voor een n×n-matrix A is de karakteristieke polynoom PA, gedefinieerd door:

\!\,P_A(\lambda) = \det (A - \lambda I_n)

Hierin staat det voor de determinant en In voor de n×n-eenheidsmatrix. Het is dus de determinant van de matrix die ontstaat nadat bij A er λ afgetrokken is van de elementen op de hoofddiagonaal. Zie ook het voorbeeld verderop in dit artikel.

Stellen we de karakteristieke polynoom gelijk aan 0, dan ontstaat de karakteristieke vergelijking:

\!\,\det (A - \lambda I_n) = 0

Dit is een veeltermvergelijking van graad n in de onbekende λ waarvan de oplossingen de eigenwaarden van A zijn.

Eigenschappen[bewerken]

In de eigenschappen hieronder is A een n×n-matrix met karakteristieke polynoom PA(λ).

  • De nulpunten van PA zijn de eigenwaarden van A.
  • De constante term in PA(λ) is de determinant van A.
  • De coëfficiënt van λn-1 is het spoor van A, op het teken na indien n even is.

De laatste twee eigenschappen laten toe PA(λ) voor een 2×2-matrix A te schrijven als:

λ2 - sp(A)λ + det(A) = 0

Voorbeeld[bewerken]

Beschouw de volgende 2×2-matrix A:

A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

We bepalen de karakteristieke polynoom:


P_A \left( \lambda  \right) = \det \left( {A - \lambda I_n } \right) = \begin{vmatrix}
    1 - \lambda& 4 \\
    0 & 2- \lambda
  \end{vmatrix} = \left( {1 - \lambda } \right)\left( {2 - \lambda } \right) - 4 \cdot 0 = \lambda ^2  - 3\lambda  + 2

Uit de karakteristieke polynoom volgen nu direct de determinant (2) en het spoor (3) volgens de eerder gegeven eigenschappen.

We zoeken de eigenwaarden als de nulpunten van de karakteristieke vergelijking:

\lambda ^2  - 3\lambda  + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {1 - \lambda } \right)\left( {2 - \lambda } \right) = 0 \Rightarrow \lambda  = 1 \vee \lambda  = 2

De eigenwaarden van A zijn dus 1 en 2.

A voldoet aan de karakteristieke vergelijking, want:

P_A(A) = A^2-3A+2I=
\begin{bmatrix} 1 &  4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}^2 - 3
\begin{bmatrix} 1 &  4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 2 &  0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1 & 12 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} - 
\begin{bmatrix} 3 & 12 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 2 &  0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 0