Lagrange-polynoom

Een Lagrange-polynoom is in de numerieke analyse een polynoom, die bij een set punten op de x-as hoort en in een van de punten de waarde 1 aanneemt en in de overige punten de waarde 0. Een Lagrange-polynoom is genoemd naar Joseph-Louis Lagrange, maar werd het eerst beschreven in 1779 door Edward Waring en herontdekt in 1783 door Leonhard Euler. Lagrange-polynomen worden gebruikt om van een onbekende functie f, waarvan slechts in een eindig aantal punten x_i de waarde f(x_i) bekend is, de waarde in tussengelegen punten te benaderen door een lineaire combinatie van (Lagrange-)polynomen die bij de punten x_i horen.

Definitie

Bij de n + 1 punten $x_0, x_1,\ldots, x_n$ horen de n + 1 Lagrange-polynomen

$\ell_{i}(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.$

Eigenschappen

Voor de Lagrange-polynoom $\ell_{i}$ geldt:

$\ell_{i}(x_i) = 1$

en

$\ell_{i}(x_k) = 0, \mbox{voor }k\ne i.$

Toepassing

Als van de functie f de waarde in de n + 1 punten $x_0, x_1,\ldots, x_n$ bekend is, kan f benaderd worden door de polynoom

$P(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i)\ell_i(x).$

Zie ook

• interpolatie
• Wilkinson-polynoom
• Hermite-polynoom
• Laguerre-polynoom
• Chebyshev-polynoom