Lemma van Schwarz

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, is het lemma van Schwarz, genoemd naar Hermann Schwarz, een resultaat in de complexe analyse over holomorfe functies, die zijn gedefinieerd en worden afgebeeld op de open eenheidsschijf.

Definitie[bewerken]

Laat

D = \{z : |z| < 1\}\

een open eenheidsschijf zijn in het complexe vlak C, die is gecentreerd op de oorsprong en laat

f : D \to D

een holomorfe afbeelding zijn, die de oorsprong gefixeerd, dat is,

f(0)=0\,.

Het lemma van Schwarz stelt dat

|f(z)|\le|z| for all z \in D

en dat

|f'(0)| \le1.

Verder als

|f(z)| = |z|\, voor enige z\ne0

of als

|f'(0)| = 1\,

dan is f een rotatie, dat wil zeggen,

f(z) = az\, voor enige a\in\mathbb{C} met |a| = 1\,.

Het lemma van Schwartz is minder beroemd dan sterkere stellingen, zoals de afbeeldingstelling van Riemann, dat het mede helpt te bewijzen. Het lemma van Schwartz is een van de minder moeilijke resultaten, die de rigiditeit van holomorfe functies aantoont.

Referenties[bewerken]

  • Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (Compacte Riemann-oppervlakken) (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (Zie sectie 2.3)
  • S. Dineen, The Schwarz Lemma, Oxford, 1989 ISBN 0-19-853571-6.

Externe link[bewerken]