Middelwaardestelling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Middelwaardestelling

De middelwaardestelling is een stelling uit de analyse die haar bekendheid dankt aan de toepassing als hulpstelling. Zij kent verschillende vormen, maar de bekendste is die van Lagrange. De stelling is sterk gerelateerd aan de tussenwaardestelling, soms wordt de middelwaardestelling de tussenwaardestelling voor afgeleiden genoemd.

De stelling, die in de nevenstaande figuur aanschouwelijk gemaakt wordt, houdt in dat van een functie die op (a,b) differentieerbaar is, de grafiek op minstens één plaats dezelfde helling moet hebben als de verbindingslijn van de punten (a,f(a)) en (b,f(b)), dat wil zeggen de afgeleide is ergens gelijk aan de 'middelwaarde', de verandering van f op dat interval.

Stelling[bewerken]

Als de functie f voor a<b voldoet aan de voorwaarden:

  1. f is continu op het gesloten interval [a, b],
  2. f is differentieerbaar op het open interval (a,b)

dan is er een c tussen a en b waarvoor geldt:

f(b)-f(a)= (b-a) f\, '(c).


De stelling van Rolle is een speciaal geval voor f(b) = f(a).

Bewijs[bewerken]

Voor het bewijs steunen we op de stelling van Rolle. We definiëren de functie F door:

F(x)= f(x) - \frac {f(b) - f(a)} {b - a} (x - a).

Dan voldoet F aan de voorwaarden van de stelling van Rolle. Er bestaat dus een c tussen a en b, waarvoor geldt:

F'(c) = f'(c) - \frac {f(b) - f(a)} {b - a} = 0.

Hieruit volgt het gestelde.

Veralgemening van de middelwaardestelling[bewerken]

Een veralgemening van de middelwaardestelling werd gegeven door Cauchy. Deze veralgemening zegt dat wanneer a<b en de functies f en g voldoen aan de volgende voorwaarden:

  1. f en g zijn continu op het gesloten interval [a, b],
  2. f en g zijn differentieerbaar op het open interval (a,b)
  3. g'(x) is verschillend van nul op het open interval (a,b)

dat er dan een waarde c bestaat tussen a en b zodat er geldt:

\frac {f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)} = \frac {f'(c)} {g'(c)}.

Merk allereerst al op dat wegens de derde voorwaarde en de stelling van Rolle g(b) - g(a) verschillend van nul is, want anders zou g'(d) nul zijn voor een zekere d tussen a en b. Het bewijs verloopt verder volledig analoog aan dat van de middelwaardestelling: we beschouwen hier echter de functie

F(x)= f(x) - \frac {f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)} (g(x) - g(a)).