Modulatie (radio)

Modulatie is het combineren van een gegevenssignaal met een draaggolf met een hogere frequentie, zodat een signaal ontstaat met een frequentieband in de buurt van de frequentie van de draaggolf.

Bij radio en televisie, maar ook bij telefonie voor dataoverdracht, dus in het algemeen in de telecommunicatie, is het in principe mogelijk een signaal direct in draadloze vorm uit te zenden. Het signaal dat door een microfoon wordt opgewekt, en dat frequenties onder 20 kHz bevat, wordt dus met die frequentie uitgezonden. Een dergelijke frequentie plant zich echter niet goed voort door de atmosfeer en bovendien zou er maar een zender tegelijk in bedrijf mogen zijn.

Dit probleem wordt opgelost door het bronsignaal met een draaggolf over te brengen. Hierdoor wordt de essentie van het signaal overgebracht naar een smalle band rond de draaggolffrequentie, waaruit later door demodulatie het oorspronkelijke signaal weer kan worden teruggewonnen. Door draaggolven van verschillende frequentie te gebruiken kunnen verschillende zenders uitzenden zonder elkaar te hinderen en door de selectiviteit van de ontvanger uit elkaar gehouden worden.

Bij telefonie ligt deze frequentie midden in de doorlaatband, ongeveer 2 kHz. Voor specifiek dit laatste zie verder bij modem.

Redenen

Laagfrequente signalen hebben voor sommigen typen verwerking grote nadelen waarvoor modulatie een oplossing kan bieden.

• Het gebruikte spectrum is relatief groot. De (grond)tonen van een piano omvatten 8 octaven maar ze nemen maar ongeveer 25 kHz aan bandbreedte in. Wanneer het geluid wordt verplaatst naar een frequentie van 1 MHz omvat het spectrum nog maar een fractie van een octaaf (die daar 1 MHz aan bandbreedte inneemt), de relatieve bandbreedte is afgenomen. Aangezien de meeste transportfaciliteiten voor signalen frequentieafhankelijk werken kan het verschoven signaal gemakkelijker onvervormd worden getransporteerd.
• Het gebruikte spectrum overlapt. Verschillende zenders kunnen door modulatie draaggolven van verschillende frequenties uitzenden en zodoende uit elkaars 'vaarwater' blijven, de signalen worden door de selectiviteit van de ontvanger uit elkaar gehouden. (Zie ook FDM).
• Zeer laagfrequente signalen of erger gelijkspanningen, zoals meetsignalen uit sensoren, laten zich - met name op langere termijn - lastig accuraat versterken en 'vervoeren'. Ook hiervan worden signalen met hogere frequenties afgeleid.

Signalen zijn op een andere frequentie nodig.

• superheterodyne
• spectrumanalyzer

Draaggolf

De draaggolf c(t) is een zuiver sinusvormig signaal, met een frequentie f, veel hoger dan de hoogste in het bronsignaal x(t) voorkomende frequentie. Voor de draaggolf kunnen we schrijven:

$c(t) = A \cos(\omega t)\!$,

waarin A de amplitude is van de draaggolf en $\omega=2\pi f\!$ de hoekfrequentie.

In beginsel zijn er twee mogelijkheden voor modulatie: variëren van de amplitude A of variëren van de hoek $\omega t\!$. Daarbij zorgt men er in de praktijk voor dat de variaties niet te groot zijn, zodat de gunstige draaggolfeigenschappen behouden blijven. Het gevolg is dat de gemoduleerde signalen lokaal, dat wil zeggen gedurende enkele perioden van de draaggolf op een harmonisch signaal lijken met de bij de modulatievorm behorende amplitude en frequentie.

Het vermogen in een 'kale' draaggolf is als volgt te bepalen: Voor een sinusvormige draaggolf met een topspanning $\hat{u_{hf}}\!$ kunnen we schrijven:

$u_c(t) = \hat{u_{hf}} \cos(\omega_{hf} t)$,

Het draaggolfvermogen volgt uit de effectieve waarde van de (sinusvormige) draaggolf, en de weerstand waarin het vermogen wordt gedissipeerd. De effectieve waarde van de spanning is:

$u_{c} = { \hat{u}_{hf} \over \sqrt{2} }$

en het draaggolfvermogen bedraagt dus:

$P_{c} = { {{( { \hat{u}_{hf} \over \sqrt{2} } )^2} \over R} } = { \hat{u}_{hf}^2 \over 2R }$

Amplitudemodulatie (AM)

afbeelding 1: Amplitudegemoduleerd signaal

██ Oorspronkelijk signaal

██ gemoduleerde draaggolf

██ fictieve omhullende van draaggolf

Amplitudemodulatie (AM) is de oudste vorm van modulatie, de detectie is namelijk zeer eenvoudig uit te voeren.

In de simpelste vorm bestaat AM uit het herhaaldelijk in- en uitschakelen van de zender. Door de schakeltijden te variëren kunnen codes als morse worden verstuurd. Deze mode duidt men over het algemeen aan met CW wat staat voor continuous wave. Overdracht van geluid door middel van AM gebeurt door de amplitude van de draaggolf geleidelijk te veranderen, in het ritme van het LF-signaal. Oorspronkelijk werden buizen als niet-lineair element gebruikt om AM teweeg te brengen. Door de niet-ideale vorm van de buiskarakteristiek ontstonden ook ongewenste bijproducten.

Karakteristieken

Een amplitudegemoduleerd signaal v(t) is van de vorm:

$v(t) = A(t) \cos(\omega t)\!$,

met A(t) een lineaire functie van het bronsignaal, dus

$A(t) = a + b x(t)\!$.

In afbeelding 1 is zichtbaar dat het signaal (lichtgrijs) lokaal rond elke t een sinus lijkt met frequentie $2\pi\omega\!$ en amplitude A(t).

AM-zijbanden

Er ontstaan bij het moduleren signaalcomponenten met nieuwe frequenties.

Uit de goniometrische 'standaard' betrekkingen

• $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$
• $\cos(\alpha-\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$

kan door optellen worden afgeleid dat:

$\cos(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2} \cos(\alpha-\beta) + \frac{1}{2} \cos(\alpha+\beta)$

Door nu voor A(t) een cosinusvorm te kiezen kan het resulterende signaal worden geschreven als: $v(t)= {{\hat{u}_{lf}\hat{u}_{hf}}\over 2} \lbrace \cos(( \omega_{hf} - \omega_{lf}) t) + \cos(( \omega_{hf} + \omega_{lf}) t) \rbrace$

Hierin zijn $\hat{u}_{hf}\!$ en $\hat{u}_{lf}\!$ de respectievelijke topwaarden van de draaggolf en het LF-signaal, en $\omega_{hf}\!$ en $\omega_{hf}$ de respectievelijke hoekfrequenties.

Door de vermenigvuldiging van de drager en het signaal ontstaan som- en verschilfrequenties. De uitkomst representeert een zogenaamd dubbelzijbandsignaal, het bestaat uit alleen de zijbanden (rood in afbeelding 2). Merk op dat de draaggolf en het laagfrequent signaal niet als zodanig in deze uitkomst voorkomen, en dat het vermogen van de draaggolf en het LF-signaal volledig in de zijbanden is opgegaan. Alle informatie uit het LF-signaal is aanwezig in elke zijband. Om vermogen te besparen wordt daarom soms slechts één zijband uitgezonden, men spreekt dan van enkelzijbandmodulatie (EZB) of single sideband (SSB) er wordt dan nader gespecificeerd of het gaat om de lage (LSB) of de hoge (USB) zijband.

In de afbeelding is te zien dat de onderste zijband is gespiegeld, het geluidsspectrum is in deze zijband omgedraaid. Wanneer met een USB-ontvanger naar een LSB-signaal wordt geluisterd lijken mensen dan ook een vreemde taal te spreken.

Een 'normale' AM-zender zendt naast de genoemde zijbanden ook de draaggolf zelf uit. Dit type signaal (een 'echt' AM-signaal) wordt voorgesteld door:

$v(t) = (1+m)\hat{u}_{hf}cos(\omega_{hf}t)\!$

Hierin is m de modulatiediepte:

$m={\hat{u}_{lf} \over \hat{u}_{hf}}\!$

ze stelt de verhouding tussen de amplituden van de draaggolf en het laagfrequent signaal voor. De waarde van m loopt van nul (de draaggolf is ongemoduleerd) tot maximaal 1 (de draaggolf is volledig gemoduleerd).

Door invullen van m kan het AM-signaal daarmee worden geschreven als:

$v(t)= \hat{u}_{hf} \cos(\omega_{hf} t) + {{m\hat{u}_{hf}}\over 2} \lbrace \cos(( \omega_{hf} + \omega_{lf}) t) + \cos(( \omega_{hf} - \omega_{lf}) t) \rbrace \!$

afbeelding 2: Frequentiespectrum van amplitudemodulatie

AM-vermogen

Het vermogen in de AM-draaggolf wordt beschreven door:

$P_{c}={\hat{u}_{hf}^2\over2R}\!$

De effectieve waarde van het zijbandsignaal is -bij een sinusvormig modulerend signaal- dus

$u_{z} = {{m \hat{u}_{hf}}\over {2 \sqrt{2} }} \!$

En het in een weerstand R ontwikkelde vermogen is

$P_{z} = { ({{{m \hat{u}_{hf}}\over{2\sqrt{2}}})^2} \over R } \!$

of

$P_{z} = {{({m \hat{u}_{hf}})^2} \over 8R} = {{m^2 \over 4} {\hat{u}_{hf}^2 \over 2R}} = {{m^2 \over 4} P_{c}} \!$

Zodat voor het totale vermogen van een AM-signaal (met sinusvormig modulatiesignaal) geldt:

$P_{am} = (1+{m^2 \over 2})P_{c} \!$

Omdat het relatief gemakkelijk is om de topwaarde van een HF-signaal te bepalen -in tegenstelling tot bijvoorbeeld de effectieve waarde- is het gebruikelijk om met name het vermogen uit te drukken in die topspanning. Dit in tegenstelling met de 'gewone' elektronica waar men het liefst in termen van U_eff rekent.

In de praktijk wordt vaak een andere maat voor het AM-vermogen gebruikt: het PEP-vermogen (Eng. Peak Envelope Power). Hierbij wordt de topwaarde van het gemoduleerde signaal -ook wel de omhullende (envelope)- als spanning genomen in de 'gewone' vermogensberekening, die eigenlijk berust op de effectieve waarde. Het feitelijke vermogen is dus lager dan het PEP-vermogen. In afbeelding 1 is een AM-signaal te zien, het modulerend signaal is groen en de rode lijnen vormen de omhullende (Eng. Envelope). Het PEP-vermogen van de zender is dus gebaseerd op de extreme waarden van de rode lijnen.

Frequentiemodulatie (FM)

Bij FM wordt de momentane hoekfrequentie van de draaggolf veranderd in relatie met de amplitude van het laagfrequent signaal. Over het algemeen gebruikte FM-signalen zijn echter feitelijk een vorm van hoekmodulatie.

Bij hoekmodulatie heeft het gemoduleerde signaal v(t) de vorm:

$v(t) = A cos(h(t))\!$,

waarin h(t) zo gekozen wordt dat

• de draaggolfeigenschappen bewaard blijven
• er een relatie is met het bronsignaal

Bij deze modulatievorm worden zowel de frequentie als de fase van het signaal beïnvloed, aangezien

$\omega_{mom} = {{d\phi} \over {dt}}\!$

Men spreekt traditioneel echter van frequentiemodulatie (FM) als de momentane hoekfrequentie (de afgeleide van h(t)) een lineaire functie is van het bronsignaal. Dus als:

$h'(t) = a + b x(t)\!$.

Men kiest meestal voor a de hoekfrequentie van de draaggolf, zodat:

$h(t) = \omega t + b \int x(t)dt$

en

$v(t) = A cos(\omega t + b \int x(t)dt)$.

Strikt genomen wordt hier de fase van de draaggolf gemoduleerd en zou men dus van fasemodulatie (PM) moeten spreken. Het signaal is wel genoteerd met behulp van een cosinus, maar is geen cosinus in de tijd. Door de condities echter die men bij modulatie hanteert, is de variatie in frequentie relatief gering, waardoor het signaal lokaal rond t een (co)sinus lijkt met vaste amplitude A en momentane hoekfrequentie $\omega + b x(t)\!$.

Voor "echte" FM zou men de hoekfrequentie moeten variëren, dus:

$h(t)=w(t) t\!$

moeten kiezen, met voor w(t) een voor de hand liggende keuze:

$w(t)=w+q x(t)\!$ of $w(t)=w(1+q x(t))\!$.

Dit houdt echter in dat de momentane hoekfrequentie afhangt van zowel het bronsignaal zelf als van de afgeleide daarvan, zodat demodulatie moeilijk is.

afbeelding 3: Frequentiegemoduleerd signaal (blauw) en hoekgemoduleerd signaal (rood) in het tijddomein

In afbeelding 3 is het verschil tussen hoekmodulatie (rood) en frequentiemodulatie (blauw) duidelijk te zien. De praktische uitvoering van FM geschiedt over het algemeen door de oscillator van de draaggolf te beïnvloeden, zodat de opgewekte frequentie op de gewenste manier varieert met het bronsignaal.

FM-zijbanden

afbeelding 4: Besselse functies

Ook bij FM ontstaan zijbanden. Wanneer we voor de frequentiezwaai van het signaal $\Delta \omega \!$ schrijven, kan bij hoekmodulatie met een cosinusvormig signaal het argument worden geschreven als:

$h(t) = \int_0^t {\omega_{hf} + \Delta \omega_{hf} cos(\omega_{lf} t)dt} \!$

en dus ook als:

$h(t) = \omega_{hf}t+{{ {\Delta\omega_{hf}} \over \omega_{lf}} sin(\omega_{lf}}t)+h_0\!$

De gemoduleerde draaggolf (met amplitude A) kan dus behoudens de integratieconstante $h_0$ geschreven worden als:

$v(t) = A sin(\omega_{hf}t+{{ {\Delta\omega_{hf}} \over \omega_{lf}} sin( \omega_{lf}})) \!$

De verhouding tussen de frekwentiezwaai van het FM-signaal en de hoeksnelheid van het modulerende signaal noemt men de modulatieindex.

$m' = {{\Delta\omega_{hf}} \over \omega_{lf}} \!$

Met deze modulatieindex (m') kan voor het signaal worden geschreven:

$v(t) = A sin(\omega_{hf}t+{{m'}sin(\omega_{lf}}))\!$

Na omwerken tot

$v(t) = A \left\lbrace sin(\omega_{hf}t) \cos({m'}sin(\omega_{lf}t))+ cos(\omega_{hf}t) \sin({m'}sin(\omega_{lf}t)) \right\rbrace \!$

en substitutie van

$\cos({m'}\sin(\omega_{lf}t)) = J_0(m') + 2 \sum_{n=0}^\inf { J_{2n}(m') \cos(2n\omega_{lf}t)} \!$

en

$\sin({m'}sin(\omega_{lf}t)) = 2 \sum_{n=0}^\inf { J_{2n+1}(m') sin((2n+1)\omega_{lf}t)} \!$

ontstaat de volgende vorm voor het signaal:

$\begin{matrix} v(t)= \\ AJ_0(m')+ \\ AJ_1(m')\left[\sin((\omega_{hf}+ \omega_{lf})t) - \sin((\omega_{hf}- \omega_{lf})t)\right]+ \\ AJ_2(m')\left[\sin((\omega_{hf}+2\omega_{lf})t) - \sin((\omega_{hf}-2\omega_{lf})t)\right]+ \\ AJ_3(m')\left[\sin((\omega_{hf}+3\omega_{lf})t) - \sin((\omega_{hf}-3\omega_{lf})t)\right]+ \\ AJ_4(m')\left[\sin((\omega_{hf}+4\omega_{lf})t) - \sin((\omega_{hf}-4\omega_{lf})t)\right]+ \\ ... + \\ AJ_n(m')\left[\sin((\omega_{hf}+n\omega_{lf})t) - \sin((\omega_{hf}-n\omega_{lf})t)\right] \end{matrix}$

Hierin is $J_{n}(m')\!$ de Besselse functie van de eerste soort en orde n. De interpretatie hiervan is dat de zijbanden van een FM-signaal zich oneindig ver uitstrekken om de draaggolf heen, en dat ze samen met de draaggolf een amplitude hebben die wordt bepaald door de Besselse functies van het eerste soort. Het domein van de Besselse functie is in deze de modulatieindex, in afbeelding 4 zijn de respectievelijke functies afgebeeld, de functiewaarden voor m'=2 zijn gemarkeerd.

Afbeelding 5 laat het bij m'=2 horende frequentiespectrum zien.

afbeelding 5: Frequentiespectrum van frequentiemodulatie

We zien hier dat de amplitude van de component op de draaggolffrequentie inderdaad gelijk is aan ongeveer 0,11 (J₀(2) * draaggolfamplitude).

Voor de bandbreedte van een FM-signaal kan worden opgemerkt dat de modulatieindex een graadmeter blijkt te zijn voor de breedte van gemiddelde signalen. "Het aantal benodigde zijbanden is gelijk aan m'+1" is een vaak gebruikte vuistregel.

FM-vermogen

Het blijkt in de praktijk dat voor normale waarden van m' het vermogen van de draaggolf niet verandert door de frequentie te moduleren. Dit is aannemelijk omdat voor elke momentane frequentie de uitdrukking voor het vermogen hetzelfde blijft. Het vermogen wordt wel verspreid over een bepaalde bandbreedte, waardoor in sommige situaties het gemeten vermogen wel verandert.

Andere vormen

De meeste andere vormen van modulatie zijn in essentie speciale vormen van AM of FM, dan wel een combinatie van beide. Dit geldt niet voor pulsbreedtemodulatie en pulspositiemodulatie.

Naast AM en FM onderscheidt men nog:

• Single-sideband modulation (SSB)
• Vestigial-sideband modulation (VSB, or VSB-AM)
• Quadrature amplitude modulation (QAM)
• Orthogonal frequency division modulation (OFDM), dat ook wel bekendstaat als Discrete multitone modulation (DMT)
• Wavelet modulatie
• Ringmodulatie

Als OFDM wordt gebruikt in combinatie met kanaalcodeertechnieken, wordt het omschreven als Coded orthogonal frequency division modulation (COFDM).

Pulsmodulatietechnieken zijn onder andere:

• Pulscodemodulatie (PCM)
• Pulsbreedtemodulatie (PWM)
• Pulsamplitudemodulatie (PAM)
• Pulspositiemodulatie (PPM)

Modulatie van digitale signalen

Als een signaal een eenvoudige, langzame aan/uit indicatie heeft zoals in morsecode of in radioteletype (RTTY), wordt modulatie ook wel aangeduid met het Engelse keying zoals in de volgende termen:

• Amplitude-shift keying (ASK)
• Frequency-shift keying (FSK), zie ook Frequentiemodulatie
• Phase-shift keying (PSK), zie Fasemodulatie

RTTY kan ook gezien worden als een simpele vorm van pulscodemodulatie.

Aanverwante vormen

Choppen

Een veelgebruikte techniek die een AM-signaal maakt van een LF-spanning is het zogenaamde choppen. Een simpele chopper verbindt periodiek zijn uitgang beurtelings met nul, en het te meten signaal. Het resultaat is een pulstrein, met als frequentie de schakelfrequentie, en als topwaarde de te meten spanning. Na verwijdering van de gelijkspanningscomponent is de gemeten waarde dus beschikbaar als de amplitude van een -min of meer- hoogfrequent signaal. Dit signaal is veel eenvoudiger accuraat te versterken en bewerken dan een gelijkspanningssignaal.

Mengen

Een aan AM gerelateerde signaalbehandeling, is het mengen (Eng. mixing). Bij het mengen worden twee sinusvormige sigalen met elkaar vermenigvuldigd, en komen de draaggolf en het ingangssignaal dus - in het ideale geval - niet in het uitgangssignaal voor. Een dergelijke vermenigvuldiger noemt men een mixer. Een ideale mixer geeft als uitgangssignaal:

$v(t) = {{AB} \over 2} \cos(\alpha-\beta) + {{AB} \over 2}\cos(\alpha+\beta)\!$

Met A en B de respectievelijke amplituden van de ingangssignalen en $\alpha$ $\beta$ hun respectievelijke argumenten. Mixers vinden hun toepassing in hoogfrequentapparatuur als televisies, radio's en telefoons.

Zie ook

• spiegelfrequentie
• frequentiemodulatie
• amplitudemodulatie
• zijband
• HF-modulator

Mediabestanden

Zie de categorie Modulation van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.