Multilineair

In de wiskunde is een afbeelding van meer veranderlijken multilineair als de afbeelding lineair is in elk van de veranderlijken.

Het begrip lineair veronderstelt dat we over de bewerkingen optelling en scalaire vermenigvuldiging beschikken, de onderliggende verzamelingen zijn dus meestal vectorruimten of op zijn minst modulen.

Het begrip wordt ook gebruikt om een verschil tussen oude media (boeken, film enzovoort) en nieuwe media (internet, games enzovoort) aan te duiden. Multilineariteit staat dan voor de mogelijkheid meer verhaallijnen in te bouwen, onder andere via hypertekst, ofwel voor de gebruiker van deze media om het document op een niet-lineaire wijze te consumeren.

Definitie

Zij $R$ een ring, zij $I$ een willekeurige verzameling ("indexverzameling"), en zij $\{A_i;i\in I\}$ een familie modulen over $R$. Zij $B$ eveneens een moduul over $R$. Noteer $P=\prod_{i\in I}A_i$ voor het Cartesisch product, en zij $f:P\to B$ een afbeelding van het product der modulen $A_i$ naar het moduul $B$. We noemen $f$ multilineair als voor elk punt $a=(a_i)_{i\in I}$ en voor elke index $i\in I$ de partiële afbeelding $g_{a,i}:A_i\to B:p\mapsto f(p^*)$ lineair is. Hierbij worden de coördinaten van het punt $p^*$ als volgt gedefinieerd:

$(p^*)_j=a_j$ als $j\neq i$;

$(p^*)_i=p$.

Bijzondere gevallen

Een multilineaire vorm is een multilineaire afbeelding waarbij het doelmoduul $B$ de ring $R$ zelf is.

Een bilineaire afbeelding is een multilineaire afbeelding op een product van precies twee modulen. Analoog spreekt men soms van trilineaire, quadrilineaire, ... afbeeldingen.

Verschil met sesquilineair

Als we voor $R$ het lichaam der complexe getallen nemen (zodat $B$ en $A_i$ complexe vectorruimten zijn), dan is naast het begrip bilineaire afbeelding ook dat van sesquilineaire afbeelding nuttig en courant. Een sesquilineaire afbeelding is weliswaar lineair in de eerste component, maar toegevoegd lineair in de tweede component.