Oplosbare groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een oplosbare groep een groep, die een rij van ondergroepen, waarin iedere factorgroep van twee opéénvolgende groepen (dus uit die rij), abels is. Abels en commutatief is hetzelfde.

Definitie[bewerken]

Een groep G wordt oplosbaar genoemd als deze groep een normale rij heeft, waarvan de factorgroepen allen commutatief zijn, dat wil zeggen dat als er ondergroepen

\{1\}= G_0\subset G_1\subset\cdots\subset G_k = G

zijn, zodanig dat G_(j-1) normaal is in G_j en datde factorgroep  G_j/G_{j-1} een steeds commutatief is.

Of op equivalente wijz, als de "afgeleide rijen" van de groep, de afnemende normale rij

G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots,

waar iedere ondergroep de commutatorondergroep van de vorige is, uiteindelijk de triviale groep {1} van G bereikt. Deze twee definities zijn gelijkwaardig, aangezien voor elke groep H en iedere normaaldeler N van H, het quotiënt H/N dan en slechts dan commutatief is als H(1) deel uitmaakt van N. De kleinste n zodanig dat G^{(n)}=\{1\} wordt de afgeleide lengte van de oplosbare groep G genoemd.

Voorbeelden[bewerken]

Alle abelse groepen zijn oplosbaar - het quotiënt A/ B zal altijd abels zijn als A abel is. Te bepalen dat een groep oplosbaar is, heeft dus alleen nut voor niet-commutatieve groepen.

Meer in het algemeen geldt dat alle nilpotente groepen oplosbaar is. In het bijzonder zijn de eindige p-groepen oplosbaar, aangezien alle eindige p-groepen nilpotent zijn.

Een klein voorbeeld van een oplosbaar, niet-nilpotente groep is de symmetrische groep S3. Aangezien de kleinste enkelvoudige niet-abelse groep A5, (de alternerende groep van graad 5 is, volgt hieruit dat elke groep met een orde van minder dan 60 oplosbaar is.