Productmaat

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, kan men, gegeven twee meetbare ruimten en gegeven de hierop gedefinieerde maten, de productmaatruimten en de productmaten over deze ruimten verkrijgen. Conceptueel is een productmaat vergelijkbaar met het definiëren van het Cartesisch product van twee verzamelingen en de producttopologie van twee topologische ruimten.

Laten (X_1, \Sigma_1) en (X_2, \Sigma_2) twee meetbare ruimten zijn, dat wil zeggen dat \Sigma_1 en \Sigma_2 sigma-algebra's op respectievelijk X_1 en X_2 zijn, en laten \mu_1 and \mu_2 twee maten op deze ruimten zijn. Duidt de sigma algebra, \Sigma_1 \times \Sigma_2 op het Cartesisch product door X_1 \times X_2 aan. Deze sigma-algebra wordt gegenereerd door deelverzamelingen van de vorm B_1 \times B_2, waar B_1 \in \Sigma_1 en B_2 \in \Sigma_2.

De productmaat \mu_1 \times \mu_2 wordt gedefinieerd als de unieke maat op de meetbare ruimte (X_1 \times X_2, \Sigma_1 \times \Sigma_2) die voldoet aan de eigenschap

 (\mu_1 \times \mu_2)(B_1 \times B_2) = \mu_1(B_1) \mu_2(B_2)

voor alle

 B_1 \in \Sigma_1,\ B_2 \in \Sigma_2.

In feite voor elke meetbare verzameling E,

(\mu_1 \times \mu_2)(E) = \int_{X_2} \mu_1(E^y)\,\mu_2(dy) = \int_{X_1} \mu_2(E_{x})\,\mu_1(dx),

waar Ex = {yX2|(x,y)∈E} en Ey = {xX1|(x,y)∈E} beiden meetbare verzamelingen zijn.

Het bestaan van deze maat wordt gegarandeerd door de stelling van Hahn-Kolmogorov. De uniciteit van de productmaat wordt alleen gegarandeerd in het geval dat zowel (X1,Σ1,μ1) als (X2,Σ2,μ2) σ-eindig zijn.

De Borel-maat op de Euclidische ruimte Rn kan worden verkregen als het product van n kopieën van de Borel-maat op de reële lijn, R.

Zelfs als de twee factoren van de productruimte volledige maatruimten zijn, hoeft de productruimte dit niet te zijn. Dientengevolge is de vervolledigingsproduce nodig om de Borel-maat uit te breiden naar de Lebesgue-maat of om het product van twee Lebesgue-maten uit te breiden om zo de Lebesgue-maat van de productruimte te verkrijgen.

De tegengestelde constructie aan de formatie van het product van twee maten is de desintegratie, waar een gegeven maat in zekere zin "splitst" in een familie van maten die weer kan worden geïntegreerd om zo weer de oorspronkelijke maat te geven.