Stelling van Bachet-Bézout

Etienne Bézout

Claude Gaspard Bachet de Méziriac

De stelling van Bachet-Bézout is een stelling uit de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde. De stelling houdt in dat als $d$ de grootste gemene deler is van twee gehele getallen $a$ en $b$ die ongelijk zijn aan 0, er dan gehele getallen $x$ en $y$ bestaan, zodat

$ax+by=d.$

De getallen $x$ en $y$ heten hier bézoutgetallen of bézoutcoëfficiënten. Bovendien is $d$ het kleinste (strikt) positief getal dat kan worden geschreven als $ax+by$.

Men kan de stelling van Bachet-Bézout ook als volgt formuleren: de lineaire vergelijking

$ax+by=\mathrm {ggd} (a,b)$

heeft altijd een oplossing.

Geschiedenis

De stelling van Bachet-Bézout is mede vernoemd naar Étienne Bézout, die de stelling bewees voor polynomen. Maar de stelling was al eerder voor de gehele getallen geponeerd door de Franse wiskundige Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Algoritme

De bézoutgetallen $x$ en $y$ kunnen worden bepaald met behulp van het uitgebreide algoritme van Euclides, maar ze zijn niet uniek. Als het paar $(x,y)$ een oplossing is, dan zijn daaruit oneindig veel oplossingen te construeren. Deze worden namelijk gegeven door

$\left\{\left.\left(x+{\frac {kb}{\mathrm {ggd} (a,b)}},\ y-{\frac {ka}{\mathrm {ggd} (a,b)}}\right)\right|k\in \mathbb {Z} \right\}$

Voorbeeld

De grootste gemene deler van 63 en 105 is 21. Er is dan volgens de stelling Bachet-Bézout een geheeltallige oplossing voor $x$ en $y$ in de vergelijking $63x+105y=21.$ Een van de oplossingen is $x=2$ en $y=-1$. Inderdaad is $63\cdot 2+105\cdot (-1)=126-105=21.$ Andere oplossingen zijn $x=-3,y=2$ en $x=7,y=-4$.

Bewijs

Bewijs door constructie 

Het bewijs is constructief. Met het uitgebreide algoritme van Euclides kan voor elke $a$ en $b$ de grootste gemene deler $\mathrm {ggd} (a,b)$ als een gehele lineaire combinatie worden uitgedrukt van resultaten die zelf weer gehele lineaire combinaties zijn van andere tussenresultaten. In een eindig aantal stappen laten die tussenresultaten zich uitdrukken als een gehele lineaire combinatie van $a$ en $b$.

De lineaire diofantische vergelijking $ax+by=c$ heeft dan en slechts dan een gehele oplossing als $c$ door de $\mathrm {ggd} (a,b)$ is te delen.

In het geval van de stelling is $c=d=\mathrm {ggd} (a,b)$ en heeft de vergelijking

$ax+by=d=\mathrm {ggd} (a,b)$

een oplossing.

Stel nu dat er een $c$ is, dat voor zekere door het algoritme van Euclides bepaalde gehele $x$ en $y$ gelijk is aan:

$ax+by=c$

Dan moet $c$ een veelvoud van $\mathrm {ggd} (a,b)$ zijn en is

$d=\mathrm {ggd} (a,b)\leq c$

Generalisatie

Algemeen zegt deze stelling dat er voor elk eindig aantal getallen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ gehele getallen $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {Z}$ zijn, zodat:

$\mathrm {ggd} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}+\ldots +\alpha _{n}a_{n}$

Dit kan met volledige inductie worden aangetoond.

Gevolgen

Deze stelling heeft enkele belangrijke gevolgen. Deze worden hier niet bewezen, maar ze volgen vrijwel allemaal rechtstreeks uit de stelling.

1. De diofantische vergelijking $a<x+by=c$ in de variabelen $x$ en $y$, dus met gehele $a,b,c,x$ en $y$ heeft alleen dan oplossingen als de ggd van $a$ en $b$ een deler is van $c.$
2. Wanneer twee getallen $a$ en $b$ door een derde getal $c$ zijn te delen, is ook $\mathrm {ggd} (a,b)$ door $c$ te delen.
3. Voor alle gehele $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ geldt dat $\mathrm {ggd} (\mathrm {ggd} (a_{1},a_{2}),a_{3},\ldots ,a_{n})=\mathrm {ggd} (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})$
4. Voor alle $a,b$ en $c$ geldt dat het product $\mathrm {ggd} (a,b)\cdot \mathrm {ggd} (a,c)$ door $\mathrm {ggd} (a,bc)$ kan worden gedeeld. In het bijzonder geldt dat $\mathrm {ggd} (a,bc)=\mathrm {ggd} (a,c)$ als $a$ en $b$ relatief priem zijn.
5. Voor elke natuurlijke $n$ en gehele $a$ is er een $b$ zodat $ab=\mathrm {ggd} (a,n){\pmod {n}}.$
6. Voor alle $c$ en daarbij alle $a$ en $b$, zodat $c$ door $a$ en $b$ kan worden gedeeld, geldt dat $c$ ook door $ab/\mathrm {ggd} (a,b)$ kan worden gedeeld. In het bijzonder geldt dat ieder getal dat tegelijk een veelvoud is van $a$ en $b,$ ook een veelvoud is van $ab/\mathrm {ggd} (a,b)$. Het kleinste gemene veelvoud $\mathrm {kgv} (a,b)$ van $a$ en $b$ is dus gelijk aan $ab/\mathrm {ggd} (a,b)$.

Voetnoten