Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde is een bilineaire vorm
B
{\displaystyle B}
vectorruimte V over een lichaam (Ned) / veld (Be)
K
{\displaystyle K}
scalairen een bilineaire afbeelding
B
:
V
×
V
→
K
{\displaystyle B:V\times V\to K}
B
{\displaystyle B}
lineair in elk argument afzonderlijk:
1.
B
(
u
+
u
′
,
v
)
=
B
(
u
,
v
)
+
B
(
u
′
,
v
)
,
2.
B
(
u
,
v
+
v
′
)
=
B
(
u
,
v
)
+
B
(
u
,
v
′
)
,
3.
B
(
λ
u
,
v
)
=
B
(
u
,
λ
v
)
=
λ
B
(
u
,
v
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{1. }}B(u+u',v)=B(u,v)+B(u',v){\text{,}}\\[4pt]{\text{2. }}B(u,v+v')=B(u,v)+B(u,v'){\text{,}}\\[4pt]{\text{3. }}B(\lambda u,v)=B(u,\lambda v)=\lambda \,B(u,v){\text{.}}\\[4pt]\end{array}}}
Als van de vectorruimte een basis
W
{\displaystyle W}
B
(
b
1
,
b
2
)
{\displaystyle B(b_{1},b_{2})}
B
:
W
×
W
→
K
{\displaystyle B:W\times W\to K}
Elke bilineaire vorm op
K
n
{\displaystyle K^{n}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
matrix
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle A=(a_{ij})}
B
(
x
,
y
)
=
x
⊤
A
y
=
∑
i
,
j
=
1
n
x
i
a
i
j
y
j
{\displaystyle B(x,y)=x^{\top }Ay=\sum _{i,j=1}^{n}x_{i}a_{ij}y_{j}}
Zo'n bilineaire vorm heet ontaard als de matrix een singuliere matrix is.
De definitie van een bilineaire vorm kan eenvoudig worden uitgebreid naar modulen over een commutatieve ring , waar lineaire afbeeldingen worden vervangen door modulehomomorfismen . Als
K
=
C
{\displaystyle K=\mathbb {C} }
complexe getallen ) is men vaak meer geïnteresseerd in sesquilineaire vormen , die vergelijkbaar zijn met bilineaire vormen, maar die conjugaat lineair in een argument zijn.
Zie ook
![{\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{1. }}B(u+u',v)=B(u,v)+B(u',v){\text{,}}\\[4pt]{\text{2. }}B(u,v+v')=B(u,v)+B(u,v'){\text{,}}\\[4pt]{\text{3. }}B(\lambda u,v)=B(u,\lambda v)=\lambda \,B(u,v){\text{.}}\\[4pt]\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab6680b4ed16d0031985e655787cac8d82d9179)
