Dichtste bolstapeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Dichtste pakking van bollen)
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Samenvoegen   Ten minste één Wikipediagebruiker vindt dat de onderstaande inhoud, of een gedeelte daarvan, samengevoegd zou moeten worden met Hexagonale dichtste stapeling, of dat er een duidelijkere afbakening tussen deze artikelen dient te worden gemaakt  (hier melden).
Stapeling van bollen in de hexagonale dichtste stapeling.

In de meetkunde en kristallografie is de dichtste bolstapeling of dichtste stapeling van bollen, ook wel dichtste pakking genoemd, een zodanige configuratie, regelmatig of onregelmatig, van een oneindige verzameling van identieke bollen, dat geen andere configuratie meer ruimte van een oneindige ruimte in drie dimensies inneemt.

De atomaire pakkingsfactor is in de kristallografie het deel van het volume in een kristalstructuur, die door atomen wordt bezet. Het gaat van een harde-bollenmodel uit, waarin de atomen elkaar raken, maar elkaar niet overlappen

Pakkingsfactor[bewerken | brontekst bewerken]

Onder de pakkingsfactor of vullingsfactor van een bolstapeling verstaat men de limietwaarde van verhouding van het volume van de bollen in een eindig deel van de ruimte en het volume van dat deel zelf. Men spreekt ook van gemiddelde dichtheid van de configuratie.

Gauss gaf er een bewijs voor, dat de hoogste pakkingsfactor, die door een roosterschikking kan worden bereikt, gelijk is aan

Het vermoeden van Kepler stelt dat ook de hoogste dichtheid is, die voor enige roosterschikking van bollen kan worden bereikt. Dit vermoeden wordt nu algemeen beschouwd als in 1998 door Thomas Hales te zijn bewezen.[1][2][3]

Hexagonale en kubische stapeling[bewerken | brontekst bewerken]

Er zijn twee verschillende stapelingen, die beiden de maximale pakkingsfactor van ongeveer 0,74 halen.

De eerste is de hexagonale dichtste stapeling. De bollen liggen in het grondvlak in een rooster van driehoeken tegen elkaar aan. De laag daarboven ligt ten opzichte van de grondlaag zo verschoven, dat het hele rooster in drie dimensies kan worden gezien als opgebouwd uit viervlakken. Iedere bol is door 12 andere bollen omringd, waarvan de middens allemaal even ver van het midden van afliggen. De hoek tussen de twee lijnstukken in de hexagonale dichtste stapeling, die beide aan een kant in het midden van eindigen, maar aan de andere kant in het midden van twee verschillende aan grenzende bollen, is steeds ongeveer .

Hoewel het hele rooster van de hexagonale dichtste stapeling uit viervlakken is opgebouwd, is het viervlak niet de eenheidscel van het rooster. Een prisma met twee ruiten als grond- en bovenvlak voldoet wel als eenheidscel. Het bijbehorende kristalstelsel is hexagonaal.

De tweede is de kubisch dichtste stapeling. De bollen liggen hierin in het grondvlak in een rooster van vierkanten, die weer tegen elkaar aan. De laag daarboven ligt ook hier weer ten opzichte van de grondlaag iets verschoven. Het verschil is dat deze laag iets dieper in de eerste laag kan wegzakken dan bij de hexagonale dichtste stapeling. Dat maakt dat de pakkingsfactor van de kubisch dichtste stapeling dezelfde wordt als die van de hexagonale dichtste stapeling. De laag daarboven, de derde laag, ligt net als bij de hexagonale dichtste stapeling weer recht boven de eerste laag, maar de bollen van de eerste en de derde laag raken elkaar niet. Het bijbehorende Bravaisrooster heet tetragonaal ruimtelijk gecentreerd.[4] Er zijn dus drie bollen in deze stapeling te vinden, waarvan er een, , tegen de beide anderen aan ligt, waarvoor de hoek tussen de twee lijnstukken die met beide andere verbindt, is.

Er is meer symmetrie in de hexagonale dichtste stapeling dan in de trigonale dichtste stapeling.

Kristallografie[bewerken | brontekst bewerken]

Dichtste bolstapelingen worden in de kristallografie gevonden in de kristalstructuur van edelgassen en metalen. In veel gevallen komen zowel de kubische als de hexagonale structuur van hetzelfde element voor, omdat het verschil in vrije energie tussen de verschillende metastabiele, allotrope kristalstructuren over het algemeen klein is.

In kleine kristallen van kobalt worden random stapelingen aangetroffen.