Eenheidsschijf

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Van boven naar beneden: open eenheidsschijf in de Euclidische metriek, Manhattan-metriek en Tsjebyshev-metriek.

In de wiskunde is de open eenheidsschijf rondom P, waar P een gegeven punt in het vlak is, de verzameling van punten waarvan de afstand ten opzichte van P kleiner is dan 1:

D_1(P) = \{ Q : \vert P-Q\vert<1\}. \,

De gesloten eenheidsschijf rondom P is de verzameling van de punten, waarvan de afstand ten opzichte van P kleiner dan of gelijk aan 1 is:

\bar D_1(P)=\{Q:|P-Q| \leq 1\}. \,

Eenheidsschijven zijn speciale gevallen van schijven en eenheidsballen.

Zonder verdere specificaties wordt de term eenheidsschijf gebruikt voor de open eenheidsschijf rondom de oorsprong

D_1(0) \,,

met betrekking tot de standaard Euclidische metriek in een Euclidisch coördinatenstelsel. Een open eenheidsschijf is het inwendige van een cirkel met straal 1, gecentreerd op de oorsprong. Deze verzameling kan worden geïdentificeerd met de verzameling van alle complexe getallen met een absolute waarde minder dan een. Wanneer de eenheidsschijf wordt bezien als een deelverzameling van het complexe vlak (C), wordt de eenheidsschijf vaak aangeduid als \mathbb{D}.

De open eenheidsschijf, het vlak en het bovenhalfvlak[bewerken]

De functie

f(z)=\frac{z}{1-|z|^2} \,

is een voorbeeld van een reële analytische- en bijectieve functie van de open eenheidsschijf naar het vlak. Haar inverse functie is ook analytisch.

Beschouwd als een echte 2-dimensionale analytische variëteit, is de open eenheidsschijf isomorf over het gehele vlak. Daarnaast is de open eenheidsschijf homeomorf over het gehele vlak. Er bestaat echter geen hoekgetrouwe bijectieve afbeelding tussen de open eenheidsschijf en het vlak. Als een Riemann-oppervlak beschouwd verschilt de open-eenheidsschijf daarom van het complexe vlak.

Er bestaan hoekgetrouwe bijectieve afbeeldingen tussen de open eenheidsschijf en het bovenhalfvlak. Dus als een Riemann-oppervlak beschouwd is de open eenheidsschijf isomorf ( biholomorf, of "hoekgetrouw equivalent") aan het bovenhalfvlak. Deze twee termen worden vaak door elkaar gebruikt.

Meer in het algemeen stelt de afbeeldingstelling van Riemann dat elke enkelvoudig samenhangende open deelverzameling van het complexe vlak die van het complexe vlak zelf verschilt een hoekgetrouwe en bijectieve afbeelding op de open eenheidsschijf toelaat.

Externe links[bewerken]