Afbeeldingstelling van Riemann

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, stelt de afbeeldingstelling van Riemann dat als U een enkelvoudig samenhangende open deelverzameling van het complexe vlak \Bbb C is, die niet gelijk is aan het gehele complexe vlak \Bbb C, dat er dan een biholomorfe (bijectieve en holomorfe) afbeelding f\, van U\, op de open eenheidsschijf D\, bestaat

D=\{z\in {\Bbb C} :|z|<1\}.

Intuïtief betekent de voorwaarde dat U enkelvoudig samenhangend is dat U geen "gaten" bevat. Het feit dat f biholomorf is impliceert dat het een hoekgetrouwe afbeelding is en daarom hoekbewarend. Intuïtief bewaart zo'n afbeelding de vorm van elk voldoende klein figuur onder rotatie en schalen (maar niet spiegelen).

Henri Poincaré bewees dat de afbeelding f in essentie uniek is: als z_0 een element van U is en φ een willekeurige hoek is, dan bestaat er precies een f, zoals hierboven, met de extra eigenschappen dat f z_0 afbeelft op ("ïnto") 0 en dat het argument van de afgeleide van f op het punt z_0 gelijk is aan φ. Dit is een eenvoudige consequentie van het lemma van Schwarz.

Als een corollarium van de stelling kunnen elke twee enkelvoudig verbonden open deelverzamelingen van de Riemann-sfeer (die elk ten minste twee punten van de sfeer missen) hoekgetrouw op elkaar worden afgebeeld (omdat hoekgetrouwe gelijkwaardigheid een equivalentierelatie is).

Formulering van de afbeeldingstelling[bewerken]

Op biholomorfe equivalentie na zijn er slechts drie open, samenhangende, enkelvoudig samenhangende delen van het vlak:

Bovendien is zo een equivalentie in zekere zin uniek bepaald: veronderstel dat A en B twee open, samenhangende, enkelvoudig samenhangende delen van het vlak zijn. Kies punten a in A, b in B en een hoek t. Dan bestaat er een unieke equivalentie van A naar B die a op b afbeeldt en zodat de afgeleide in a, argument t heeft.