Idempotente matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In algebra is een idempotente matrix een matrix welke, na vermenigvuldiging met zichzelf, terug zichzelf geeft. Dit wil zeggen dat de matrix "M" idempotent is als en slechts als MM = M. Hiervoor is het noodzakelijk dat "M" een vierkante matrix is.

Voorbeeld[bewerken]

Voorbeelden van een en een idempotente matrix zijn en , respectievelijk.

2 × 2 Voorbeeld[bewerken]

Als een matrix idempotent is, dan

  • dit impliceert dus of
  • dit impliceert dus of

Een noodzakelijke voorwaarde voor een 2 × 2 matrix om idempotent te zijn is dat het een diagonaalmatrix is of zijn spoor (linear algebra) gelijk is aan 1. Merk op dat voor idempotente diagonaalmatrices, en ofwel 1 of 0 moeten zijn.

Als b = c, de matrix zal idempotent zijn als . "a voldoet dus aan de kwadratische vergelijking

of .

Dit is een cirkel with centrum (1/2, 0) en straal 1/2. Of, in termen van een hoek θ,

is idempotent.

Echter is b = c geen noodzakelijke voorwaarde: elke matrix

met is idempotent.

Eigenschappen[bewerken]

Met uitzondering van de Eenheidsmatrix is een idempotente matrix singulier. Dit wil zeggen dat zijn aantal onafhankelijke rijen (kolommen) kleiner is dan zijn aantal rijen (kolommen). Zie , in de veronderstelling dat niet singulier is, en voorvermenigvuldigend met om te bekomen.

Wanneer men een idempotente matrix aftrekt van de eenheidsmatrix, bekomt men weer een idempotente matrix, volgens [I − M][I − M] = I − M − M + M2I − M − M + MI − M.

Een matrix is idempotent als en slechts als voor elk natuurlijk getal n geldt: .

Een idempotente matrix is altijd diagonaliseerbaar en zijn eigenwaardes zijn ofwel 0 of 1. Het spoor van een idempotente matrix — de som der elementen op zijn hoofddiagonaal — is gelijk aan de rang van de matrix.