Imaginair deel

Fraktur I symbool

Een illustratie van het complexe vlak. Het imaginaire deel van het complexe getal $z=x+iy$ is $y$.

Van een complex getal $z$, weergegeven met de reële getallen $x$ en $y$ als $z=x+iy$, heet $y$ het imaginaire deel van $z.$ Wordt $z$ voorgesteld als het geordende paar $z=(x,y)$ dan is het tweede element van het paar het imaginaire deel van $z.$

Het imaginaire deel van $z$ wordt genoteerd als $\mathrm {Im} (z)$ of ook als $\Im (z),$ waarin $\Im$ de hoofdletter I in het lettertype Fraktur is.

Eigenschappen

De complexe functie die het complexe getal $z$ afbeeldt op zijn imaginaire deel, is niet holomorf.

Met behulp van de complex geconjugeerde ${\bar {z}}$ van $z$ kan het imaginaire deel van $z$ geschreven worden als

$\mathrm {Im} (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$.

Voor de polaire vorm

$z=r\,e^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\,\sin \varphi )$

geldt

$\mathrm {Im} (z)=r\,\sin \varphi$.

Overige

• Het reële deel van een complex getal $z=x+iy$ is $x$.
• Een complex getal $z=iy$, waarvan het reële deel dus gelijk aan 0 is, heet een imaginair getal.