Impulsoperator

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Kwantummechanica
Onzekerheidsrelatie
Algemene inleiding...
Wetenschappers

De impulsoperator in de kwantummechanica

waarin de nabla is, correspondeert met de impuls

in de klassieke mechanica. De impulsoperator wordt gebruikt in het hamiltonformalisme. De hamiltoniaan van een klassiek deeltje kan vertaald worden in de hamiltoniaan van een kwantumdeeltje door substitutie.

De hamiltoniaan van een elektron met kinetische energie T=½mv² en elektrische potentiële energie U is klassiek

zodat de hamiltoniaan in de (niet-relativistische) kwantummechanica is

.

Theorie[bewerken]

Klassiek volgt uit de hamiltoniaan de bewegingsvergelijking in één dimensie

waarin F de kracht op het elektron is.

Kwantummechanisch bepaalt in de tijdonafhankelijke schrödingervergelijking de golffunctie van het elektron met energie E

.

Met deze hamiltonianen kan de klassieke baan van het elektron vergeleken worden met de eigenaardige kwantumtoestanden van het elektron in het elektrische veld. De schrödingervergelijking is in de kwantummechanica wat de eerste wet van Newton is in de klassieke mechanica.

De impulsoperator is in overeenstemming met de de Broglie's vergelijking waarin het golfgetal is van het elektron. De golffunctie heeft de vorm dus

;

is de eigenwaarde van de operator .

In drie diemensies is de theorie hetzelfde. en zijn dan vectoren en is de nabla operator.

Toepassingen[bewerken]

Tunneleffect[bewerken]

Laat vrije elektronen, U=0, met energie E op een potentiaal barrière V>E stuiten.

Voor x<0 is de schrödingervergelijking

een golfvergelijking met oplossing

.

Omdat voor is het geen acceptabele golffunctie maar wel bruikbaar om reflectie en transmissie te berekenen. is geen kwantummechanische beschrijving van een elektron maar van een elektronbundel.

Voor x>0 is de schrödingervergelijking

met oplossing

.

C=0 zodat voor . De twee oplossingen moeten in x=0 glad aan elkaar passen:

.

Daaruit volgt:

.

dus er is totale reflectie van de bundel. is een staande golf.

dus er is penetratie van de bundel. Elektronen hebben een exponentieel afnemende kans te komen in x>0 die klassiek ontoegankelijk is.

Harmonische oscillator[bewerken]

Een elektron waarop een kracht -sx werkt bij uitwijking x van het evenwichtspunt x=0 slingert met frekwentie . De potentiële energie U=½sx² dus de hamiltoniaan in de kwantummechanica is.

.

De tijdonafhankelijke schrödingervergelijking heeft alleen acceptabele oplossingen voor de golffunctie als de elektronenergie E waarden heeft

De bijbehorende golffuncties zijn:

De functies Hn zijn Hermite polynomen:

De eerste twee golffuncties zijn:

,
.

Hieruit blijken twee dingen:

  • De mogelijke E-waarden een discreet spectrum vormen. Klassiek kan het elektron alle waarden E=½sa² hebben (a is de slingeramplitude).
  • In de grondtoestand het elektron niet in rust is, is niet 0. Klassiek is x=p=0 als de slinger in rust is, maar volgens Heisenberg bestaat die toestand niet. Er is een kans dat x van 0 verschilt.

Waterstofatoom[bewerken]

In het waterstofatoom is de hamiltoniaan van het elektron in het Coulombveld van de kern klassiek

en dus kwantummechanisch

.

Voor de oplossing van de tijdonafhankelijke schrödingervergelijking.