Isoperimetrisch punt

isoperimetrisch punt P

Het isoperimetrisch punt is een bijzonder punt in een driehoek ABC. Het is het punt P in deze driehoek zodat de driehoeken PBC, APC en ABP gelijke omtrek hebben. Het isoperimetrisch punt heeft Kimberlingnummer X(175).

Eigenschappen

• Het isoperimetrisch punt is de harmonische verwant van het gelijke-omweg-punt ten opzichte van het middelpunt van de ingeschreven cirkel en het punt van Gergonne, en is dus collineair met deze drie punten.
• De omtrekken van PBC, APC en ABP zijn gelijk aan de diameter van de omgeschreven cirkel van Soddy.
• Barycentrische coördinaten zijn

$\left(a-{\frac {\Delta }{s-a}}:b-{\frac {\Delta }{s-b}}:c-{\frac {\Delta }{s-c}}\right).$

Hierin zijn Δ en s de oppervlakte en de halve omtrek van ABC.

• Het isoperimetrisch punt bestaat alleen als de omtrek van ABC groter is dan 4R+r, waarin R de straal van de omgeschreven cirkel weergeeft en r de straal van de ingeschreven cirkel.

Externe links

• Site Dick Klingens
• MathWorld (en)
• isoperimetric and equal detour points (en)

Bronnen, noten en/of referenties

• Dergiades, N. (2007) "The Soddy circles" Forum Geometricorum vol. 7 pp. 191-197.