Krull-ring

Een Krull-ring is een bepaald type van commutatieve ring die in de commutatieve algebra en aanverwante deelgebieden van wiskunde wordt bestudeerd. De Krull-ring is genoemd naar de Duitse wiskundige Wolfgang Krull.

Formele definitie

Laat $A$ een integriteitsdomein zijn en laat $P$ de verzameling van alle priemidealen van $A$ zijn met hoogte gelijk aan een. Dan is $A$ dan en slechts dan een Krull-ring als

1. $A_{\mathfrak {p}}$ een discrete valuatiering is voor alle ${\mathfrak {p}}\in P$, en
2. elke niet-nulzijnd hoofdideaal de doorsnede is van een eindig aantal priemidealen met hoogte gelijk aan een.

Voorbeelden

1. Elk normale Noethers integriteitsdomein is een Krull-ring.
2. Als A een Krull-ring is dan zijn de veeltermring A[x] en de ring der formele machtreeksen A''x'' dat ook.
3. Laat $A$ een Noethers integriteitsdomein zijn met quotiëntenlichaam K en laat L een eindige algebraïsche uitbreiding van K zijn. Dan is de integrale sluiting van A in L een Krull-ring.

Referenties

• (en) Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra (Commutatieve algebra). Second Edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9
• (en) Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory' (Commutatieve ringtheorie)'. Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9