De Lüroth-expansie of Lüroth-ontwikkeling van een reëel getal
uit het halfopen interval (0,1] is een rij van gehele getallen
, alle groter dan of gelijk aan 2, zodat
geschreven kan worden als een reeks van de volgende vorm:
[1]
Deze expansie werd in 1883 door de Duitse wiskundige Jacob Lüroth beschreven en onderzocht.[1] Hij vond onder meer dat elk getal
uit het halfopen interval (0,1] op een unieke wijze kan geschreven worden als een dergelijke reeks, en dat omgekeerd elke reeks van de vorm [1] convergeert naar een getal uit (0,1]. De
-de term in een Lüroth-reeks is immers kleiner dan of gelijk aan
en gaat naar nul als
naar oneindig gaat; dus convergeert de reeks. Er bestaat bijgevolg een een-op-eenrelatie tussen getallen uit (0,1] en rijen
van gehele getallen groter dan of gelijk aan 2. Lüroth bewees ook dat elk rationaal getal ofwel een eindige ofwel een periodieke Lüroth-ontwikkeling heeft, en dat elk irrationaal getal een oneindige Lüroth-ontwikkeling heeft.
Voorbeeld: de Lüroth-reeks met coëfficiënten (2, 4, 6, 8, ...) convergeert naar het getal
.
De coëfficiënten uit de reeksontwikkeling [1] kunnen met het volgende algoritme berekend worden:
- Stel
![{\displaystyle t_{0}=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b148d96279d4fbadd959f828674df02ac8eb12f)
- Bereken voor
(hierin is
de entier-functie, dit is het grootste geheel getal dat niet groter is dan
)
![{\displaystyle t_{n+1}=a_{n+1}(a_{n+1}-1)\left(t_{n}-{\frac {1}{a_{n+1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960b20ee5dd8dfe440de5dd77b53c2dfb4f0e0ae)
- Stop wanneer
het reciproke is van een natuurlijk getal; dan is ![{\displaystyle a_{n+1}={\frac {1}{t_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb834a08edbab886aa3cd354f8ea9beb4742446)
- Wanneer de
gelijk is aan
is de Lüroth-ontwikkeling periodiek.
We berekenen de Lüroth-ontwikkeling van
![{\displaystyle t_{0}=11/18}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc9954a45383b3f58b80c2c4ed4e74f85a4c4b7c)
![{\displaystyle a_{1}=\lfloor {18/11}\rfloor +1=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f3f8968590a46abf767924c5ae7c11fa80fa37)
![{\displaystyle t_{1}=2\cdot 1\cdot (11/18-1/2)=4/18=2/9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288abe040ae44d309d0920438e30e98ae8b58990)
![{\displaystyle a_{2}=\lfloor {9/2}\rfloor +1=5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68157cfe5cc76f943f14792b94fbf52e34cd0401)
![{\displaystyle t_{2}=5\cdot 4\cdot (2/9-1/5)=20/45=4/9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c511d2d9a586ba86b200ccb903274efaa47eb782)
![{\displaystyle a_{3}=\lfloor {9/4}\rfloor +1=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9281ce04b739083217e1757b409c5bf3aa8cf042)
![{\displaystyle t_{3}=3\cdot 2\cdot (4/9-1/3)=6/9=2/3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371dc41b437491799c1f2a30853b7de3132c0930)
![{\displaystyle a_{4}=\lfloor {3/2}\rfloor +1=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1227a3d2e1823be9bb182a30a0b456e56b543b41)
![{\displaystyle t_{4}=2\cdot 1\cdot (2/3-1/2)=2/6=1/3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15a346582faeed06f327d282a3aaf19c3d0d1ba)
![{\displaystyle a_{5}=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b249d2e60b6e822f578758998484037a142944b0)
De Lüroth-ontwikkeling van 11/18 is dus {2,5,3,2,3}:
![{\displaystyle {\frac {11}{18}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 1\cdot 5}}+{\frac {1}{2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 3}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{120}}+{\frac {1}{480}}+{\frac {1}{1440}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f703a38fe806be67a32866e5b48d539bb1dee20d)
- H. Jager, C. De Vroedt, "Lüroth series and their ergodic properties", Indagationes Mathematicae (Proceedings), Volume 72, Issue 1, 1969, Pages 31-42, ISSN 1385-7258, DOI:10.1016/1385-7258(69)90023-7 (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/1385725869900237)
- Jose Barrionuevo, Robert M. Burton, Karma Dajani en Cor Kraaikamp, "Ergodic properties of generalized Lüroth series", Acta Arithmetica, vol. 74, nr. 4 (1996), blz. 311-327
Bronnen, noten en/of referenties
- ↑ J. Lüroth. Ueber eine eindeutige Entwicklung von Zahlen in eine unendliche Reihe. Math. Ann. (1883), vol. 21, blz. 411–423.