Möbius-transformatie

In de meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een Möbius-transformatie van het vlak een rationale functie van de vorm

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

van een complexe variabele z; hier de coëfficiënten a, b, c, d zijn complexe getallen die voldoen aan ad - bc ≠ 0. Möbius- transformaties zijn genoemd naar August Ferdinand Möbius, maar ze worden ook wel homografische transformaties, lineaire fractionele transformaties of gebroken lineaire transformaties genoemd.

Overzicht

Möbius-transformaties worden gedefinieerd op het uitgebreide complexe vlak (dat wil zeggen het complexe vlak vermeerderd met het punt op oneindig):

${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.$

Dit uitgebreide complexe vlak kan worden beschouwd als een sfeer, de Riemann-sfeer, of als de complexe projectieve lijn. Elke Möbius-transformatie is een bijectieve hoekgetrouwe afbeelding van de Riemann-sfeer op zichzelf. Inderdaad is elke zodanige afbeelding is noodzakelijk een Möbius-transformatie.

De verzameling van alle Möbius-transformaties vormen een groep onder compositie, die de Möbius-groep wordt genoemd. Het is de automorfismegroep van de Riemann-sfeer (wanneer deze beschouwd wordt als een Riemann-oppervlak) en wordt soms aangeduid door

${\mbox{Aut}}({\widehat {\mathbb {C} }})\,$.