Paz werd geboren in Santa Cruz.[1] Hij begon zijn jeugdopleiding bij CD San Juan, waar hij een paar jaar later werd weggeplukt door CD Tenerife.[1] In 2016 maakte hij de overstap naar Real Madrid.[1] In het seizoen 2021/22 maakte hij zijn opwachting bij Real Madrid Castilla, het beloftenelftal van Real Madrid dat toen in de Primera División RFEF uitkwam. In het seizoen daarop maakte Paz ook zijn debuut in de UEFA Youth League. In de groepsfase scoorde hij vijfmaal in zeven wedstrijden: op verplaatsing bij Celtic FC en RB Leipzig stond hij telkens tweemaal aan het kanon, en ook thuis tegen Celtic scoorde hij. Real Madrid werd dat seizoen in de kwartfinale uitgeschakeld door AZ.
Op 3 januari 2023 zat García voor het eerst in de wedstrijdselectie van het eerste elftal naar aanleiding van de bekerwedstrijd tegen CP Cacereño.[2] Op 8 november 2023 maakte hij zijn officiële debuut in het eerste elftal van de club: in de Champions League-groepswedstrijd tegen SC Braga (3-0-winst) liet trainer Carlo Ancelotti hem in de 77e minuut invallen.[3] Later die maand liet Ancelotti hem in de Primera División ook invallen tegen Valencia CF en Cádiz CF. Op 29 november 2023 opende Paz doelpuntenrekening voor Real Madrid: de Spaanse Argentijn viel in het Champions League-groepsduel tegen SSC Napoli in bij een 2-2-tussenstand en zette Real Madrid met zijn goal op weg naar een 4-2-zege.[4]
Real Madrid
· 
· 
·
7 Vinícius Jr. ·
8 Kroos ·
10 Modrić ·
11 Rodrygo ·
12 Camavinga ·
13 Loenin ·
14 Joselu ·
15 Valverde ·
16 Odriozola ·
17 Vázquez ·
18 Tchouaméni ·
19 Ceballos ·
20 García ·
21 Díaz ·
22 Rüdiger ·
23 Mendy ·
24 Güler ·
Coach: Ancelotti