Niveauverzameling

De niveauverzameling is een begrip uit de wiskunde. Een niveauverzameling van een functie $f$ is de verzameling van argumenten van $f$, waarvoor $f$ een bepaalde waarde, een bepaald niveau heeft. Als $f$ een reëelwaardige functie is van $n$ variabelen, is de niveauverzameling voor $c\in \mathbb {R}$ gedefinieerd als

$\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c\}$

Een contourlijn of niveaukromme is een niveauverzameling van een functie in twee variabelen. De isobaren in de meteorologie zijn een voorbeeld van contourlijnen.

Theorie

Bij drie variabelen spreekt men over een niveauoppervlak. De niveauverzameling van een functie in meer dan drie variabelen wordt door een hyperoppervlak weergegeven.

Een verzameling van de vorm

$\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq c\}$

wordt een subniveauverzameling van $f$ genoemd.

De volgende stelling legt verband tussen de gradiënt en een niveauverzameling:

Definieer een functie $f$ in de $n$ variabelen $x_{i}$ en kies een punt $A$, zodat $A=({\vec {x}},f({\vec {x}}))$.

Als de functie $f$ differentieerbaar is, staat de gradiënt $\nabla f({\vec {x}})$ in $A$ loodrecht op de niveauverzameling van $f$ in $A$ of is, wanneer alle partiële afgeleiden ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ van $f$ gelijk aan 0 zijn, zelf ook 0.