Overleg:Bewijs dat wortel 2 irrationaal is

Ik heb dit bewijs verplaatst naar de pagina Irrationale getallen. Ik denk dat het fraaier is het bewijs daar te plaatsen dan een aparte pagina met een bewijs te houden. Daarmee stel ik ook voor deze pagina tzt weer te verwijderen. Mee eens? Falcongj 12 mrt 2004 23:42 (CET)

Ja! imfj

Nee! Bij de pagina 'irrationaal getal' heb ik twee argumenten gegeven. Zouden jullie die willen bekijken? Groet, Bob.v.R

De toelichting staat op de overlegpagina van Bob.v.R, Overleg gebruiker:Bob.v.R. Zie daar ook mijn reactie. Zoals gezegd vind ik het niet zo fraai op deze manier, maar dat is waarschijnlijk grotendeels een kwestie van smaak. Als andere gebruikers er geen bezwaar tegen hebben, is het goed zo. Groeten Falcongj 13 mrt 2004 11:27 (CET) (p.s. Bob v. R, je kunt je boodschappen ondertekenen met 4 tildes (~))

Bob.v.R. schrijft op zijn overlegpagina: "Ik heb dat gedaan om 2 redenen. Ten eerste is het bewijs te lang om te laten staan op een pagina 'irrationaal getal'; bij een lezer die wil kennis maken met het onderwerp zou dan bij 'irrationaal getal' te veel de nadruk worden gelegd op de wortel uit 2 (ook op de duitse pagina over irrationaal getal staat geen uitgebreid bewijs van een stelling). De tweede reden is, dat het hierdoor mogelijk geworden is om vanuit een tekst over de Pythagoreërs direct door te verwijzen naar het bewijs dat wortel 2 irrationaal is."

Met beide argumenten ben ik het volkomen eens. Het bewijs staat prima op zijn eigen pagina. Puckly 2 apr 2004 19:03 (CEST)

---

Ik dacht dat het korter kon met een ander bewijs uit het ongerijmde: als de wortel uit een geheel getal rationaal, maar niet geheel is, kun je hem schrijven als een niet vereenvoudigbare gewone breuk. Dat geldt dan ook voor het kwadraat daarvan. Maar dat was een geheel getal! Alex1 22 nov 2004 10:59 (CET)

Aardige gedachte!! Echter, het is niet direct evident dat uit het feit dat een breuk niet vereenvoudigbaar is, dus ggd(teller, noemer)=1, volgt dat dan ook het kwadraat van die breuk niet vereenvoudigbaar is. Dus dit moet bewezen worden. En dat bewijs zou weleens langer kunnen zijn dan het bewijs dat wortel 2 irrationaal is. Bob.v.R 23 nov 2004 20:29 (CET)

Niet vereenvoudigbaar betekent dat er geen gemeenschappelijke factoren zijn als beide ontbonden worden. Het kwadraat heeft dezelfde factoren, maar dan van elk tweemaal zoveel. Alex1 23 nov 2004 20:52 (CET)

Zeker, zeker, maar hierbij maak je dan gebruik van de hoofdstelling van de rekenkunde, en iemand die het bewijs helemaal wil volgen die zal dan dus in feite op de Engelse Wikipedia het bewijs van die stelling helemaal moeten napluizen. Wat dus een snel bewijs lijkt, is in feite een omweg, omdat het gebruik maakt van 'zwaar geschut'. En het fraaie is nu juist het óók te bewijzen is zonder gebruik te maken van dit soort 'zware' stellingen! Bob.v.R 23 nov 2004 21:18 (CET)

Dit argument wel gebruikt als adstructie voor een bewijs door contrapositie. Fvlamoen 23 mrt 2007 22:08 (CET)

---

Ik heb bezwaar op het feit dat er wordt aangenomen dat a een heel, positief getal is. Dat a² een positief getal is wil niet meteen zeggen dat de wortel daarvan een heel getal is. Deze conclusie mag niet worden getrokken zonder te bewijzen dat a daadwerkelijk een heel getal is.

Ik heb nu al een uur zitten klooien om dit te bewijzen, en ik kom ofwel gegevens tekort of ik moet telkens terugvallen op het feit dat wortel 2 irrationaal is, maar dat zou een cirkelredenering zijn. Als iemand dit hier eens zou kunnen plakken heeft die mijn dank, het boeit me wel :)

Een rationaal getal is volgens de definitie te schrijven als quotiënt van twee gehele getallen. Dus wat is je probleem? Bob.v.R 27 dec 2006 01:33 (CET)

Het was iets in de trand van dit:

Stel dat de vierkantswortel van 2n² oneven is, dan is: 2n² = (2x+1)² <=> sqrt(2).n = 2x+1 . Als x geen element is van N is de vierkantswortel van 2n² niet oneven en dus even. Daarvoor moet n geheel zijn, wat gegeven is, en sqrt(2) irrationaal. Maar als sqrt(2) bijvoorbeeld te schrijven is als b/n (zoals er in het bewijs gesteld wordt), dan kan het dus wel.

Afijn, ik heb het eens zo geprobeerd: sqrt(2n²) = sqrt(2).n

Stel n geheel, dan is de vierkantswortel geen geheel getal en dat is strijdig met het gegeven. n moet dus een veelvoud zijn van sqrt(2). Daaruit volgt dat 2n² van de vorm 4x² is, en dus is de vierkantswortel 2x.

P.S.: Sorry als ik hier policyregels qua lay-out e.d. overschrijd, ik kwam op deze pagina en sloeg aan het denken, ik ben nog niet echt vertrouwd met de gang van zaken op dat vlak hier... Gebruiker:Jack the Stripper

Encyclopedie, geen leerboek wiskunde

Ik vind met permissie dat een encyclopedie niet de plaats is om stellingen zoals de irrationaliteit van de wortel uit 2 te gaan bewijzen. Floris V 27 dec 2006 01:57 (CET)

met permissie, zo een eenvoudige stelling moet toch kunnen, daar kan iemand zijn neefje van 8 jaar wat mee bijbrengen. Voor zware stellingen akkoord, zoals irrationaliteit van π Drirpeter 1 mei 2007 11:09 (CEST)

In de eerste plaats moet je kinderen van acht niet willen intimideren met kennis die je hier vandaan haalt; in de tweede plaats moet je bewijzen voor irrationaliteit van getallen niet voorleggen aan kinderen van acht, tenzij het om hoogbegaafde kinderen gaat, want daar zij kinderen van die leeftijd veel te jong voor, die weten waarschijnlijk amper wat breuken zijn, in de derde plaats bevat een encyclopedie feiten en geen bewijzen - want met jouw argument kun je er een heel wiskundeboek in zetten. Zelfs in een leerboek analyse of algebra voor tweedegraads lerarenopleidingen staat het bewijs van de irrationaliteit van π gewoonlijk niet. Floris V 1 mei 2007 11:22 (CEST)

Ai ai, met intimideren heeft dat niets te maken. Toegegeven, de acht is wat overdreven. Punt is, intuïtief zijn kinderen geneigd te geloven, dat er veel natuurlijke getallen zijn, nog meer breuken, en dat irrationale getallen vreemde uitzonderingen moeten zijn. In het echt zijn er even veel breuken als natuurlijke getallen en veel meer irrationale getallen. Dat op zich vind ik leerzaam en plezant, zoiets hoort in een goede encyclopedie. Drirpeter 1 mei 2007 11:30 (CEST)

Dat is een aardig iets om te vertellen, dat is waar - maar dat staat hier helemaal niet in. Het is ook niet verkeerd om kinderen van alles en nog wat te vertellen, maar je moet je steeds afvragen of je dat in een encyclopedie moet doen. In een artikel in een encyclopedie kun je - beknopt - vertellen wat irrationale getallen zijn en wat wortels zijn, je kunt wat voorbeelden noemen en opmerken dat er essentieel meer irrationale dan rationale getallen zijn, maar voor het bewijs voor zulke uitspraken moet je naar mijn mening verwijzen naar de gespecialiseerde literatuur. Als je op Wikibooks een boek over irrationale getallen zet met daarin dit bewijs zul je mij niet horen klagen. Maar hier hoort het niet thuis. Floris V 1 mei 2007 12:14 (CEST)

Tja Floris, wat hoort hier thuis? Volgens mij hoort alles wat de oude Grieken wisten hier zeker thuis. Volgens mij hoort alles wat iemand kan lezen en begrijpen die middelbaar onderwijs heeft afgerond hier thuis. Stel neefje van 8 of 10 of nog meer heeft gelijkbenige rechthoekige driehoek getekend met rechte zijden 10 cm en vraagt of de schuine zijde 14 cm is, zoals hij met zijn meetlat lijkt te meten. Antwoord: nee, 14,142 enz cm, het loopt gedurig voort, je kan het zelfs niet als een breuk schrijven. Waarom? Omdat ik het zeg/ Omdat het zo is, vind ik intimiderende antwoorden. De redenering van dit artikeltje vind ik leuk en leerzaam en niet te moeilijk.Drirpeter 1 mei 2007 14:55 (CEST)

Je gaat niet op mijn argument in, namelijk dat er een plaats is voor bewijzen van wiskundige stellingen. Er is een tijd om te eten en een tijd om te lezen of tv te kijken, maar dat betekent niet dat het een goed idee is om onder het eten de krant te gaan lezen of je eten voor de buis naar binnen te werken. M.a.w.: al is iets goed om te doen, dat betekent nog niet dat het overal en altijd kan. Je zou het bewijs als illustratie kunnen opvoeren bij het artikel bewijs uit het ongerijmde, daar is het dan functioneel, maar als dit echt een encyclopedieartikel waard is kun je er ook een maken als Bewijs dat de som van een en een twee is, waarbij je dan de axioma's van Peano gebruikt. Volgens jouw argumentatie kun je ook de tekst van oude boeken integraal opWikipedia zetten, omdat ze de moeite van het lezen waard zijn. Nou, daar is Wikisource voor. Je kunt, vind ik, niet alles in een encyclopedie zetten. Sommige dingen horen in een boek, of dat nu een papieren of een digitaal boek is maakt me dan niets uit. En naar mijn mening horen bewijzen als dit daar en niet hier thuis. Floris V 1 mei 2007 15:31 (CEST)

Tja, je vindt dat het hier niet thuishoort, ik vind van wel, zo gaat dat. Is er een 'policy' die zegt wat hier wel en niet thuishoort? Bewijs 1+1=2 lijkt me weinig relevant en als het vanaf Peano moet vertrekken zelfs ingewikkeld. Bewijs π is transcendent lijkt me wel relevant, maar te moeilijk voor hier. Hier en daar een citaat uit een oud boek lijkt me passend, maar integrale overname van zoveel mogelijk oude boeken niet relevant. Een encyclopedie is kennis. Een bewijs van die kennis - het zij een wiskundig bewijs, of een bron vanwaar een bewering komt - lijkt me passend, voor zover niet te omslachtig. Een geschiedkundig artikel van 1 pagina kan zeker ook opgesmukt worden met 10 pagina's bronverwijzingen, maar dat lijkt niet passend. Een droge bewering van 'dit is zo' zonder reden lijkt me ook niet ideaal. Bij twijfel zou ik zeggen eerder wel: een digitale encyclopedie is in tegenstelling tot één in boekdrukkunst niet aan een volume gebonden. Drirpeter 1 mei 2007 15:56 (CEST)

In een Vademecum van de wiskunde vind je juist alleen formules en stellingen, zonder bewijs, niet eens met vermelding "Het is zo", maar dat wordt wel geïmpliceerd. Floris V 1 mei 2007 16:27 (CEST)

In het algemeen zullen we inderdaad niet van alle wiskundige stellingen bewijzen geven in Wikipedia. Dit bewijs is echter dermate elementair en tegelijkertijd elegant dat we het de geïnteresseerde lezer niet mogen onthouden. (En inderdaad is het onder andere een illustratie van een bewijs uit het ongerijmde.) Tegelijkertijd is er, door het in een apart artikel onder te brengen, voor gezorgd dat een lezer die zich niet voor dit bewijs interesseert (even goede vrienden!) ook niet onnodig met dit bewijs wordt geconfronteerd. Bob.v.R 1 mei 2007 18:05 (CEST)

Maar je kunt toch vanaf hier doorverwijzen naar wikibooks? Daar bestaat het internet toch van, van hyperlinks bedoel ik? Dan blijft de informatie behouden, en op de plek waar ze hoort. Floris V 1 mei 2007 18:19 (CEST)

Natuurlijk is dat mogelijk, maar er zijn argumenten om dit bewijs (ook) hier op Wikipedia te hebben staan. Bob.v.R 1 mei 2007 18:21 (CEST)

Noem ze. En houd daarbij in gedachten de argumenten die ik hiervoor heb genoemd, en waarvan het belangrijkste is dat je nou ook weer niet alles in een encyclopedie kunt zetten. Floris V 1 mei 2007 18:33 (CEST)

Zie mijn vorige bijdrage. Bob.v.R 1 mei 2007 20:08 (CEST)

Vereenvoudiging

Ik heb gisteren een lezing gezien waarin op een iets eenvoudigere wijze werd aangetoond dat wortel 2 irrationaal is. Nou interesseer ik me wel voor wiskunde, maar weet er ook niet heel veel vanaf. Klopt het wat ik hieronder zeg? $\sim$ Wimmel 26 jan 2008 21:27 (CET)

Veronderstel dat ${\sqrt {2}}\!$ een rationaal getal is en dus te schrijven als het quotiënt van twee gehele getallen: ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}\!$ Dit is ook te schrijven als $b{\sqrt {2}}=a\!$ Kwadrateren links en rechts van het gelijkteken levert: $2b^{2}=a^{2}\!$. Een Kwadraat heeft altijd een even aantal priemfactoren, namelijk twee keer de priemfactoren van het getal waarvan het kwadraat genomen is. Voorbeeld: (x * y * z)2 = (x * y * z) * (x * y * z). Als zowel a2 als b2 een even aantal priemfactoren heeft, kan 2b2=a2 nooit waar zijn, omdat 2b2 dan een oneven aantal priemfactoren heeft. Onze veronderstelling was bijgevolg verkeerd en daarmee is bewezen dat de wortel uit 2 een irrationaal getal is. Q.E.D.

Lijkt me correct, geen speld tussen te krijgen. Misschien moet je nu nog even bewijzen dat een kwadraat altijd een even aantal priemfactoren heeft, want een wiskunstenaar neemt niets voor zoete koek aan.

Gebruikelijk is: uit $2b^{2}=a^{2}\!$ blijkt dat a even is. Maar dan is a een viervoud (een even kwadraat is altijd een viervoud, inderdaad, een even aantal priemfactoren). Dus is b even, dus is b een viervoud, dus kan a/b vereenvoudigd worden. Handige Harrie 26 jan 2008 21:34 (CET)

Het kan een vereenvoudiging lijken, maar een bewijs dat impliciet gebruik maakt van de hoofdstelling van de rekenkunde (zonder die hier te bewijzen) heeft niet mijn voorkeur. Liever zie ik dan een bewijs dat echt eenvoudig is, zoals het huidige bewijs. Bob.v.R 26 jan 2008 22:23 (CET)

Ik heb het nog een keer teruggekeken. Er worden inderdaad twee stellingen genoemd, waar bij 'mijn' bewijs vanuit wordt gegaan. Maar dat waren voor mij vanzelfsprekenheden, vandaar ik dat niet als stellingen opvatte. Ik vind het overigens op de engelse wikipedia wel helderder uitgelegd, omdat het daar in kleinere stapjes gaat, en niet alle gemeenschappelijke delers gezocht moeten worden. $\sim$ Wimmel 28 jan 2008 23:53 (CET)

Niets aangetoond

Tenzij er bewezen is dat een decimaal getal niet als breuk geschreven kan worden, is er met dit 'bewijs' niets aangetoond... Gr. Niels Krook
Bovenstaande niet middels vier tildes ondertekende bijdrage is hier op 25 sep 2013 om 08:49 geplaatst door 77.173.120.25.

Ik begrijp je opmerking niet. In dit bewijs wordt juist bewezen dat ${\sqrt {2}}$ niet als breuk geschreven kan worden. De woorden "decimaal getal" komen in het artikel helemaal niet voor. Hoopje (overleg) 25 sep 2013 11:44 (CEST)

Oké, ik begrijp dat jullie 10/3 niet irrationaal vinden dan is het in deze context mijn fout, sorry.

Bovenstaande niet-ondertekende bijdrage is hier op 25 sep 2013 om 15:44 geplaatst door 77.173.120.25.

Inderdaad, 10/3 is rationaal en dus is het niet irrationaal. Definitiekwestie. Bob.v.R (overleg) 27 sep 2013 01:36 (CEST)