Wortel 2

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De hypotenusa van een rechthoekige en gelijkbenige driehoek heeft hier de relatieve lengte van √2.

De wortel van 2, geschreven als √2 of 2½, is het positieve en reële getal dat vermenigvuldigd met zichzelf gelijk aan het getal 2 is.

Het is een irrationaal getal dat bij benadering gelijk is aan [1]:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875....

De breuk 99/70 wordt veel als benadering van √2 gebruikt, tot en met de 4e decimaal correct.

Geschiedenis[bewerken]

kleitablet YBC 7289

Het Babylonische kleitablet YBC 7289[2] uit circa 1800-1600 v.Chr. geeft een benadering van √2 in vier sexagesimale cijfers, wat overeen komt met ongeveer zes decimale cijfers :1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}. Een andere precieze benadering van het getal wordt gegeven in oud-Indische wiskundige texten, de Sulbasutras, van ongeveer 800-200 v.Chr: Verhoog de lengte [van de zijde] met zijn derde, en dit derde met zijn eigen vierde min het vierendertigste deel van dat vierde.[3] Dat komt neer op,

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{3 \times 4 \times 34} = \frac{577}{408} \approx 1{,}414215686.

Deze oude Indische benadering is de zevende in een reeks steeds nauwkeurigere benaderingen gebaseerd op de Pellreeks, die uit de kettingbreuk van √2 kan worden afgeleid.

Benaderingen[bewerken]

Verschillende representaties
Binair 1,0110101000001001111...
Decimaal 1,4142135623730950488...
Hexadecimaal 1,6A09E667F3BCC908B2F...
Kettingbreuk 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}

Er zijn een aantal algoritmes om √2 te benaderen als een breuk van gehele getallen of als decimaal getal. Het meest gebruikte algoritme hiervoor, dat ook veel in computers en rekenmachines wordt gebruikt, is de Babylonische methode[4] om wortels uit te rekenen. De methode werkt als volgt:

Neem eerst een startwaarde a0 > 0. De exacte waarde bepaalt hoe veel iteraties nodig zijn om een bepaalde precisie te halen. Dan, uitgaande van deze benadering, kan een preciezere benadering a1 worden bepaald middels:

a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}.

Hoe vaker wordt geïtereerd, hoe beter de benadering wordt. Elke iteratie verdubbelt het aantal correcte decimalen. Als we beginnen met a0 = 1, worden de volgende benaderingen in de reeks gegeven door:

a1 = 3/2 = 1.5
a2 = 17/12 = 1,416...
a3 = 577/408 = 1,414215...
a4 = 665857/470832 = 1,4142135623746...

De waarde van √2 is in 1997 door een team onder leiding van Yasumasa Kanada tot op 137.438.953.444 decimalen berekend.

Deze precisie werd in februari 2006 overtroffen door Shigeru Kondo die op een 3,6 GHz PC met 16 GiB geheugen in iets meer dan 13 dagen en 14 uur 200 miljard, of 2 × 1011, decimalen berekende.[5]

Irrationaal getal[bewerken]

De stelling dat √2 een irrationaal getal is, betekende de ontdekking van getallen die niet rationaal waren, dus niet als de breuk van twee natuurlijke getallen zijn te schrijven. Daarmee werd het wereldbeeld van de Pythagoreërs die de natuurlijke getallen als de maat van alle dingen beschouwden, overhoop gegooid.

Bewijs[bewerken]

Het gegeven bewijs is een voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde:

Veronderstel dat √2 een rationaal getal is en de breuk is van twee gehele getallen.

Vereenvoudig deze breuk, zodat √2 er staat als a/b, waarin a en b relatief priem zijn.

Uit \sqrt{2}=\frac{a}{b} volgt dat b √2 = a.

Links en rechts kwadrateren geeft 2 b² = a².

Daaruit volgt dat een even getal is.

Omdat het kwadraat van een oneven getal altijd oneven is, kan a niet oneven zijn en dus is a zelf even. Zeg a = 2k, met k geheel. Daaruit volgt weer:

2 b²= a² = (2k)² = 4 k²,

dus

b² = 2 k².

We zien dat even is, en daarmee ook b. Maar in dat geval is de breuk a/b verder te vereenvoudigen, wat in tegenspraak met de veronderstelling is. Die was dus verkeerd en daarmee is bewezen dat √2 een irrationaal getal is.

Door Euclides is dit getaltheoretische bewijs in Boek 10 van De Elementen gegeven.

De A-standaard voor papierformaat[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Papierformaat voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De A-serie van papierformaten is een serie van vellen waarbij het volgende vel steeds een tweemaal zo groot, of klein, is. De verhouding van de lange tot de korte zijde bedraagt √2 : 1. De serie begint met A0, een vel met een oppervlakte van 1 m². Met de berekende verhouding levert dat een vel van 1189 mm bij 841 mm op.

Verwijzingen en voetnoten[bewerken]


  1. Decimalen: rij A002193 in OEIS
  2. Yale Babylonian Collection.
    (en) YBC 7289.
    (en) YBC 7289.
  3. (en) Henderson. Square Roots in the Sulbasutra
  4. Hoewel deze methode in modern spraakgebruik vaak de Babylonische methode wordt genoemd, is het geenszins zeker dat de Babyloniërs deze methode hebben gebruikt voor hun benadering van √2 op tablet YBC 7289. Fowler and Robson gaan hier verder op in.
    Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  5. (en) Constants and Records of Computation