Wortel 2

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De hypotenusa van een rechthoekige en gelijkbenige driehoek heeft hier de relatieve lengte van √2.

De wortel van (of uit) 2, geschreven als √2 of 2½, is het positieve reële getal dat vermenigvuldigd met zichzelf gelijk is aan het getal 2.

Het is een irrationaal getal dat bij benadering gelijk is aan [1]:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875....

De breuk 99/70 wordt veel als benadering van √2 gebruikt. Deze benadering is tot en met de 4e decimaal correct.

Geschiedenis[bewerken]

kleitablet YBC 7289

Het Babylonische kleitablet YBC 7289[2] uit circa 1800-1600 v.Chr. geeft een benadering van √2 in vier sexagesimale cijfers, wat overeen komt met ongeveer zes decimale cijfers

Waarbij het overstreepte gedeelte repeterend is.

Een andere precieze benadering van het getal wordt gegeven in oud-Indische wiskundige teksten, de Sulbasutras, van ongeveer 800-200 v.Chr: Verhoog de lengte [van de zijde] met zijn derde, en dit derde met zijn eigen vierde min het vierendertigste deel van dat vierde.[3] Dat komt neer op,

Deze oude Indische benadering is de zevende in een reeks steeds nauwkeurigere benaderingen gebaseerd op de Pellreeks, die uit de kettingbreuk van √2 kan worden afgeleid.

Benaderingen[bewerken]

Verschillende representaties
Binair 1,0110101000001001111...
Decimaal 1,4142135623730950488...
Hexadecimaal 1,6A09E667F3BCC908B2F...
Kettingbreuk

Er zijn een aantal algoritmes om √2 te benaderen als een breuk van gehele getallen of als decimaal getal. Het meest gebruikte algoritme hiervoor, dat ook veel in computers en rekenmachines wordt gebruikt, is de Babylonische methode[4] om wortels uit te rekenen.

De methode gaat als volgt:

Neem een startwaarde a0 > 0. De waarde bepaalt hoe veel iteraties nodig zijn om een bepaalde precisie te halen. Uitgaande van deze en volgende benaderingen kan een preciezere benadering worden bepaald door middel van de iteratiestap:

Als de limiet van dit proces is, geldt:

dus

Hoe vaker wordt geïtereerd, hoe beter de benadering wordt. Elke iteratie verdubbelt het aantal correcte decimalen. Begint men met

,

dan worden de volgende benaderingen (de correcte cijfers zijn onderstreept) in de reeks gegeven door:

De waarde van √2 is in 1997 door een team onder leiding van Yasumasa Kanada tot op 137.438.953.444 decimalen berekend. Deze precisie werd in februari 2006 overtroffen door Shigeru Kondo die op een 3,6 GHz PC met 16 GiB geheugen in iets meer dan 13 dagen en 14 uur 200 miljard, of 2 × 1011, decimalen berekende.[5]

Irrationaal getal[bewerken]

De stelling dat √2 een irrationaal getal is, betekende de ontdekking van getallen die niet rationaal waren, dus niet als de breuk van twee natuurlijke getallen zijn te schrijven. Daarmee werd het wereldbeeld van de Pythagoreërs, die de natuurlijke getallen als de maat van alle dingen beschouwden, overhoop gegooid.

Bewijs[bewerken]

Het gegeven bewijs is een voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde:

Stel dat √2 een rationaal getal is en wel:

,

waarin de breuk zodanig vereenvoudigd is dat en relatief priem zijn (geen factoren gemeenschappelijk hebben).

Dan volgt dat

en na links en rechts kwadrateren

Daaruit volgt dat een even getal is, en dus ook dat zelf even is, zeg .

Daaruit volgt weer:

,

dus

.

Kennelijk is even, en daarmee ook zelf. Maar dat is in tegenspraak met het gegeven dat en relatief priem zijn. De veronderstelling dat √2 een rationaal getal is, is dus onjuist en daarmee is bewezen dat √2 een irrationaal getal is.

Door Euclides is dit getaltheoretische bewijs in Boek 10 van De Elementen gegeven.

De A-standaard voor papierformaat[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Papierformaat voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De A-serie van papierformaten is een serie van vellen waarbij het volgende vel steeds een tweemaal zo groot, of klein, is. De verhouding van de lange tot de korte zijde bedraagt √2 : 1. De serie begint met A0, een vel met een oppervlakte van 1 m². Met de berekende verhouding levert dat een vel van 1189 mm bij 841 mm op.

Verwijzingen en voetnoten[bewerken]


  1. Decimalen: rij A002193 in OEIS
  2. Yale Babylonian Collection.
    (en) YBC 7289.
    (en) YBC 7289.
  3. (en) Henderson. Square Roots in the Sulbasutra
  4. Hoewel deze methode in modern spraakgebruik vaak de Babylonische methode wordt genoemd, is het geenszins zeker dat de Babyloniërs deze methode hebben gebruikt voor hun benadering van √2 op tablet YBC 7289. Fowler and Robson gaan hier verder op in.
    Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  5. (en) Constants and Records of Computation