Overleg:Verjaardagenparadox

Zo mogen er meer.

Vond statistiek altijd een lastig vak, maar dit lemma is erg duidelijk, hoop dat er niets meer aan 'verbeterd' wordt. Peter boelens 24 jan 2006 12:59 (CET)

ik snap er niets van, wat is hier paradoxaal?? Anna

Dat zou ik ook graag willen weten?

Inderdaad een goed artikel, zo laten lijkt me :) Emmelie 22 feb 2006 12:20 (CET)

niet intuïtief?

Er is niets paradoxaals aan in de logische zin, het is paradoxaal omdat het niet intuïtief is Knnth 9 aug 2006 11:38 (CEST)

Het is mij ook niet zo duidelijk waarom het tegen de intuïtie in zou gaan. Bij 19 mensen is de kans dat de volgende persoon op dezelfde dag jarig is als iemand in de groep bijna 1 op 19. Ik schat een aantal dat "iets" groter is dan 19. Dan is 23 niet zo vreemd. Erik Warmelink 12 mrt 2008 03:13 (CET)

In de eerste plaats is dit een heel ander probleem en in de tweede plaats is het genoemde getal niet juist.Madyno 13 mrt 2008 17:12 (CET)

Voor mijn intuïtie zijn die twee kansen (de kans om op dezelfde dag geboren te zijn als iemand uit een groep van N personen, en de waarde van N waarbij de kans groter dan ½ is dat twee mensen op dezelfde dag jarig zijn) nogal gerelateerd; ik zie geen probleem, laat staan een ander probleem (maar dat is misschien niet helemaal eerlijk: ik was op de lagere school zelf op dezelfde dag jarig als iemand anders; ik weet niet meer of ik 20 of 25 schatte toen de lerares de vraag stelde). Welk getal is niet juist: 19 entier(sqrt(365¼)) of 23? Erik Warmelink 22 mrt 2008 00:54 (CET)

Kort dan: kans dat 2 of meer in groep van n op dezelfde dag jarig zijn, is een heel ander probleem dan dat bij n mensen een willekeurige volgende een verjaardag gemeen heeft. Het laatste probleem heeft als oplossing (apart aangenomen dat de n mensen verschillende verjaardagen hebben) n/365, wat voor n=19 weliswaar ongeveeer 1/19 is, maar die noemer 19 heeft niets met de groepsgrootte n = 19 te maken. Voor een groep van n=25 is die kans 25/365, wel een heel andere dan de 0,5 van de paradox.Madyno 22 mrt 2008 23:11 (CET)

Het gaat bij benadering om de som van die kansen. In nog grovere benadering: $\sum _{n=1}^{M}{\frac {n-1}{N}}={\frac {M(M-1)}{2N}}$. Zowel de sommering als de inschatting zijn iets te ruim (hoe groter $M$, hoe meer te ruim; maar zolang $M\ll N$ niet veel te ruim): voor mijn intuïtie is sqrt(N)+nogwat een goede schatting. Erik Warmelink 25 mrt 2008 14:10 (CET)

Je maakt een kleine fout als het gaat om intuïtie. Jouw intuïtie lijkt gebaseerd te zijn op een ruime voorkennis van de wiskunde. Ik noem dat een getrainde intuïtie. De intuïtie van de meeste mensen is gebaseerd op gevoel en basale kennis. Die intuïtie zegt dat de kans heel klein moet zijn, want er zijn veel meer mogelijke verjaardagen dan er mensen zijn. Als ik zelf dan intuïtief verder denk, dan kom ik hier op uit: de kans dat bij 36 mensen er twee op dezelfde dag jarig zijn, is gelijk aan 1/10 (36 mensen op 365 dagen). Dit antwoord klopt natuurlijk niet, want dit is de kans die geldt voor één bepaalde persoon in de groep en niet voor de groep als geheel. Maar dit is mijn intuïtieve antwoord (en ik schat in het intuïtieve antwoord van meer dan 90% van de rekenkundige mensheid). Het werkelijke antwoord is zoals in het artikel staat totaal anders dan dit intuïtieve antwoord. En daar zit de paradox. (Sandertje1980 (overleg) 7 jul 2015 12:19 (CEST))

Ik zie dat het account ErikWarmelink sinds 2011 geblokkeerd is. Bob.v.R (overleg) 7 jul 2015 13:20 (CEST)

Ik zag dat mijn aanvulling over intuïtie is verwijderd. Ik denk zelf dat het wel degelijk relevant is voor deze pagina, aangezien het intuïtief foute antwoord juist ervoor zorgt dat het zo'n bekend raadsel is - er zijn talloze raadsels, maar slechts een fractie daarvan heeft een eigen wikipedia-pagina. Het leek mij juist nuttig om te vermelden waar dit intuïtief foute antwoord vandaan komt. Ik geef toe dat het mogelijk niet goed uitgewerkt is, of dat de bronvermelding beter kan, maar helemaal schrappen vind ik dan ook weer zo wat. Een compromis zou kunnen zijn om te verwijzen naar een andere bron waar het staat uitgelegd (het boek waar ik naar refereerde legt het goed en begrijpelijk uit).(Sandertje1980 (overleg) 28 mrt 2018 11:33 (CEST))

knikkervoorbeeld

Het voorbeeld van de knikkers zou alleen moeten worden gebruikt als het ook echt identiek is aan het geval van de verjaardagenparadox.
Is dat het geval?
Noem 'succes' de situatie dat er een 'verjaardagsknikker' wordt getrokken. Noem $Prs_{n}$ de kans Pr(succes) op een dergelijk resultaat, bij trekking nummer n. Ik houd even geen rekening met schrikkeljaren.

• bij eerste trekking: $Prs_{1}=0$
• bij tweede trekking: $Prs_{2}=1/365$
• de derde trekking vindt alleen plaats als de eerdere trekkingen niet succesvol waren; er is hier dus sprake van een voorwaardelijke kans: $Prs_{3}={\frac {2/365}{1-1/365}}=2/364$
• $Prs_{4}={\frac {3/365}{1-1/365-2/364}}={\frac {3}{364-2*(365/364)}}$
• $Prs_{5}={\frac {4/365}{1-1/365-2/364-3/(364-2*(365/364))}}={\frac {4}{364-2*(365/364)-3*(364/365-2/364)}}$
• .....
• $\,Prs_{23}=$ .... is dat gelijk aan de kans uit het artikel?

Het lijkt dus niet zo makkelijk om identiteit aan te tonen. Zo lang we dat niet kunnen, stel ik voor de lezer niet te confronteren met het knikkerverhaal. Bob.v.R 23 mrt 2008 14:41 (CET)

Ik denk wel dat het knikkerverhaal, op de juise wijze opgevat, correct is. Ik heb het met wat tekst uitgebreid.Madyno 23 mrt 2008 15:50 (CET)

Intuitie

@Sandertje: Je toevoeging over 'illusie van lineariteit' lijkt me een eigen interpretatie van jou. Als dat zo is, hoort dat niet in dit lemma. Ik maak me sterk dat ergens deze illusie aan de hand van dit probleem besproken is. Madyno (overleg) 28 mrt 2018 13:54 (CEST)

Raar gegeven? Nee!

Volgens mij zijn de kansen anders: De kans dat iemand dezelfde verjaardag heeft in een groep van 23 mensen: 1/365 + 1/364 + 1/363 .... + 1/343. Het kan toch simpelweg niet zo zijn, dat in een pool van 344 of 22 mogelijkheden, de kans 50/50 is dat er een kaart uit de 344 bak wordt getrokken als uit de bak van 22? Rob1981Netherlands (overleg) 10 jun 2020 11:16 (CEST)

Maar in het artikel wordt toch (hopelijk helder) uitgelegd waarom het 50/50 is? En er is ter ondersteuning het concrete voorbeeld van de voetbalteams. Bob.v.R (overleg) 10 jun 2020 13:50 (CEST)

Ik vind dat voorbeeld van de voetbalteams erg mager, zijn er misschien wat meer voorbeelden van? Ik vind de onderbouwing in het artikel niet bijzonder helder, omdat er alleen gerefereerd wordt aan een sommetje. Ik geloof er gewoon niks van :D Je hebt twee bakken met knikkers, eentje van 22 en eentje van 343. Die gooi je door mekaar. Volgens dit artikel is de kans 50/50 dat je er 1 van de bak van 22 uit haalt? Volgens mij is dit eerder een fata morgana dan een paradox hoor. Rob1981Netherlands (overleg) 10 jun 2020 20:17 (CEST)

Ik heb geen idee waar je dat in het artikel leest.Madyno (overleg) 10 jun 2020 23:01 (CEST)

Nou jah ik wil dit graag begrijpen. Kan iemand dit ook uitleggen zonder louter naar een wiskundige formule te verwijzen?Rob1981Netherlands (overleg) 10 jun 2020 23:23 (CEST)

Bij het berekenen van een kans (kansberekening) heb je al snel te maken een formule. Jouw voorbeeld met de knikkers staat los van deze kwestie. In ons geval heb je 365 knikkers, je pakt een knikker en legt hem weer terug, dat doe je 23 keer. En dan gaat het om de kans dat je daarbij twee keer dezelfde knikker gepakt hebt. Bob.v.R (overleg) 11 jun 2020 08:16 (CEST)

Misschien nog ter verduidelijing: de berekening gaat via de mogelijkheid dat je iedere keer een andere knikker pakt. Madyno (overleg) 11 jun 2020 09:51 (CEST)

Ja ik snap dat verschil wel, maar dan zou het toch "De kans dat iemand dezelfde verjaardag heeft in een groep van 23 mensen: 1/365 + 1/364 + 1/363 .... + 1/343." moeten zijn? Al die kleine kansjes bij mekaar opgeteld, en niet vermenigvuldigd met mekaar?Rob1981Netherlands (overleg) 11 jun 2020 11:00 (CEST)

Het staat allemaal in het artikel, maar oké: de kans dat iedereen een verschillende verjaardag heeft, is 1/365 x 1/364 x 1/363 x ... x 1/343. Je mag niet meer een al getrokken knikker pakken. Madyno (overleg) 11 jun 2020 11:29 (CEST)

Madyno, deze opmerking was een grapje tussendoor, zo te zien. Bob.v.R (overleg) 11 jun 2020 21:43 (CEST)

Is dit alles wel serieus?? Madyno (overleg) 11 jun 2020 21:53 (CEST)

Nou jammer dat ik hier niet een andere uitleg kan krijgen, ik probeer dit al jaren tevergeefs me voor te stellen. Bedankt voor de poging I guess. Rob1981Netherlands (overleg) 11 jun 2020 11:53 (CEST)

Optellen van kansen zou aan de orde zijn als het gaat om 'A' of 'B'. Bijvoorbeeld: de kans dat een willekeurige band in de Nederlandse vlag rood of wit is bedraagt: 1/3 + 1/3 = 2/3. Bij gelijktijdig optreden van verschijnselen, 'A' en 'B' wordt vermenigvuldigd. Bv. er zijn een blauwe en een rode dobbelsteen, waarvan willekeurig 1 wordt gepakt, en vervolgens geworpen. De kans dat een rode dobbelsteen wordt gepakt, waarmee 5 wordt gegooid is: 1/2 x 1/6 = 1/12. Bob.v.R (overleg) 11 jun 2020 13:21 (CEST)

Oké, zover snap ik 'm nog. Maar hoe vertaalt dat zich in de verjaardagenparadox? Ik snap dat er wederom vermenigvuldigen worden gebruikt. De quotiënt bepaling vind ik raadselachtig. Volgens mij is de kans dat iedereen op een aparte dag jarig is niet te bepalen met 365ⁿ. Zie ik dat verkeerd?Rob1981Netherlands (overleg) 11 jun 2020 14:12 (CEST)

Het werken met quotiënten is in feite de meest elementaire methode in de kansrekening. De kans op 'A' is daarbij: "aantal mogelijkheden voor A" gedeeld door "totaal aantal mogelijkheden". Als ik gooi met twee dobbelstenen en ik wil de kans op het totaal "5" weten, dan heb ik te maken met 4 mogelijkheden met uitkomst 5, namelijk 4 + 1, 3 + 2, 2 + 3 en 1 + 4. En het totaal aantal mogelijkheden is 6 tot de macht 2 (in een vierkant van 6 bij 6 zou ik alle mogelijke combinaties kunnen weergeven). De kans op het totaal 5 is dus 4/36 = 1/9. Bob.v.R (overleg) 11 jun 2020 17:50 (CEST)

Vanuit die redenering zou ik verwachten dat de kans op een dubbele verjaardag 22/365 is, omdat je dan 22 mogelijkheden uit de 365 hebt op 1 dubbele?Rob1981Netherlands (overleg) 11 jun 2020 19:21 (CEST)

Dat is een heel andere kans. Je lijkt er bijvoorbeeld al vanuit te gaan dat de eerste 22 personen allemaal een verschillende verjaardag hebben, maar dat hoeft niet het geval te zijn; daar kunnen ook al dubbele tussen zitten en de kans daarop is natuurlijk groter dan 0. Mochten daar geen dubbele tussen hebben gezeten, dan komt inderdaad alsnog de mogelijkheid dat nummer 23 een dubbele is aan de orde. Lees, nu we dit overleg hebben gehad, a.u.b. het artikel nog een keer rustig door. Bob.v.R (overleg) 11 jun 2020 21:19 (CEST)

Ik werd vanochtend wakker en ineens begreep ik het! Het is eigenlijk een variant op de Schaakbordlegende: de kansen worden idd bij elkaar opgeteld! bij de 2e willekeurige dag heb je 1 kans op een dubbele, dan 2, 3 ... etc t/m 22. Wat ik me niet realiseerde is dat je dan opgeteld op ruim over de helft van 365 komt! Wellicht een goed idee om dit overleg te laten staan, misschien heeft iemand er nog wat aan. Iedereen hartelijk bedankt voor de hulp!Rob1981Netherlands (overleg) 12 jun 2020 09:19 (CEST)