Verjaardagenparadox

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De verjaardagenparadox: p(n) geeft de waarschijnlijkheid dat in een groep van n personen er twee of meer op dezelfde datum jarig zijn; q(n) geeft de waarschijnlijkheid dat in een groep van n personen ten minste één op dezelfde datum jarig is als een van tevoren gekozen persoon (bv. uzelf). Op de horizontale as n, op de verticale as de waarschijnlijkheid (van 0 tot 1, oftewel van 0% tot 100%).

De verjaardagenparadox is een paradox uit de kansrekening, die een resultaat toont dat tegen onze verwachting ingaat. Het gaat om de vraag hoe groot de kans is dat in een groep willekeurig gekozen mensen er (minstens) twee dezelfde verjaardag hebben. Het blijkt dat, onder enkele lichte veronderstellingen, deze kans al meer dan 50% is voor een groep van maar 23 mensen.[1] Bij 57 mensen is de kans zelfs meer dan 99%.

Uitwerking van het goede antwoord[bewerken]

De berekening is voor een groep van 23 mensen. Er wordt van uitgegaan dat alle 365 dagen van het jaar gelijkelijk als verjaardag kunnen voorkomen; schrikkeljaren worden verwaarloosd. (De verdeling van geboorten over het jaar is in de werkelijkheid niet uniform. In West-Europa bijvoorbeeld zijn er relatief meer geboorten in de periode juli tot oktober, en relatief weinig in de lente. Deze afwijkingen blijken echter weinig invloed te hebben op de resultaten; ze verhogen zelfs de waarschijnlijkheid dat ten minste twee individuen dezelfde verjaardag hebben.)

Het blijkt gemakkelijker eerst de kans te berekenen dat alle 23 personen op verschillende dagen jarig zijn. In principe kan ieder van de 23 op elk van de 365 dagen van het jaar jarig zijn. Dat levert in totaal mogelijkheden. Daaronder zijn er een heleboel met dubbele verjaardagen. Zo is een van de mogelijkheden dat alle 23 op 21 maart jarig zijn. Dat is niet een gevraagde mogeljkheid. Als ieder een verschillende verjaardag moet hebben, zijn er voor de eerste van de 23 personen 365 mogelijkheden. Voor de tweede nog maar 364, want de verjaardag van de eerste komt niet meer in aanmerking. De derde heeft 363 mogelijkheden enz. In totaal zijn dat mogelijkheden. De kans q dat allen op verschillende dagen jarig zijn, is het quotiënt van deze twee totalen, dus:

.

De gevraagde kans p dat er gelijke verjaardagen voorkomen is het complement hiervan, dus:

.

Voor een groep van n personen wordt de bovengenoemde kans q gegeven door:

Hieruit volgt dat in meer dan de helft van alle voetbalselecties met 23 spelers er minstens twee zijn met dezelfde verjaardag. Op het wereldkampioenschap voetbal 2014 waren er 32 ploegen en er waren inderdaad zestien met minstens een gedeelde verjaardag.[2] (In de Nederlandse selectie hadden Dirk Kuijt en Daryl Janmaat dezelfde verjaardag.)

Dit probleem kan ook op de volgende manier voorgesteld worden. In een vaas zitten 365 gele knikkers, de vrije verjaardagen. De eerste persoon pakt er willekeurig een knikker uit en legt er een rode voor in de plaats; zijn verjaardag is bezet. Elke volgende persoon pakt ook willekeurig een knikker en legt een rode terug. Alle deelnemers trekken een knikker. De kans dat in de loop van het proces een rode knikker, dat wil zeggen een "dubbele verjaardag", wordt getrokken, neemt meer dan verwacht toe.

De denkfout bij een intuïtief antwoord[bewerken]

Bij veel wiskundige vraagstukken, met name bij kansrekening en statistiek, blijken mensen intuïtief tot verkeerde antwoorden te komen. Omdat deze ingevingen zo overtuigend zijn, voelen mensen geen enkele aanleiding om te twijfelen aan hun antwoord. Hierdoor worden op grote schaal verkeerde beslissingen genomen wanneer er bij de beoordeling van een situatie enige wiskundige kennis is vereist, zelfs wanneer ze over die kennis beschikken, zoals in wetenschappelijke publicaties en in beleidsstukken[3]

Sterk verjaardagsprobleem[bewerken]

Het sterke verjaardagsprobleem is verwant aan de verjaardagenparadox. Hierin is de vraag: wat is de kans dat in een groep van n personen iedereen jarig is op een dag dat ook een ander in de groep jarig. Niemand verjaart alleen. Dit probleem zou voor het eerst geformuleerd en opgelost zijn door Anirban DasGupta in 2005. Deze waarschijnlijkheid is voor 23 personen uiterst klein (2 x 10-19). Pas met een groep van meer dan 2000 personen wordt ze meer dan verwaarloosbaar en ze wordt meer dan 50% bij een groep van n=3064 personen.