Verjaardagenparadox

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De verjaardagenparadox: p(n) geeft de waarschijnlijkheid dat in een groep van n personen er twee of meer op dezelfde datum jarig zijn; q(n) geeft de waarschijnlijkheid dat in een groep van n personen ten minste één op dezelfde datum jarig is als een van tevoren gekozen persoon (bv. uzelf). Op de horizontale as n, op de verticale as de waarschijnlijkheid (van 0 tot 1, oftewel van 0% tot 100%).

De verjaardagenparadox is een paradox uit de kansrekening, die een resultaat toont dat tegen onze verwachting ingaat. Het gaat om de vraag hoe groot de kans is dat in een groep willekeurig gekozen mensen er (minstens) twee dezelfde verjaardag hebben. Volgens de eerste ingeving van de meeste mensen moet deze kans heel klein zijn bij een groep kleiner dan 50 mensen. 50 mensen kunnen immers maar op maximaal 50 dagen jarig zijn, terwijl er 365 mogelijke verjaardagen zijn. Het blijkt dat, onder enkele lichte veronderstellingen, deze kans al meer dan 50% is voor een groep van maar 23 mensen.[1] Bij 57 mensen is de kans zelfs meer dan 99%.

Uitwerking van het goede antwoord[bewerken]

We geven de berekening voor een groep van 23 mensen. We gaan ervan uit dat alle 365 dagen van het jaar gelijkelijk als verjaardag kunnen voorkomen en verwaarlozen schrikkeljaren. (De verdeling van geboorten over het jaar is in de werkelijkheid niet uniform. In West-Europa bijvoorbeeld zijn er relatief meer geboorten in de periode juli tot oktober, en relatief weinig in de lente. Deze afwijkingen blijken echter weinig invloed te hebben op de resultaten; ze verhogen zelfs de waarschijnlijkheid dat ten minste twee individuen dezelfde verjaardag hebben.)

Het blijkt gemakkelijker eerst de kans te berekenen dat alle 23 personen op verschillende dagen jarig zijn. In principe kan ieder van de 23 op elk van de 365 dagen van het jaar jarig zijn. Dat levert in totaal 365^{23} mogelijkheden. Daaronder zijn er een heleboel met dubbele verjaardagen. Zo is een van de mogelijkheden dat alle 23 op 21 maart jarig zijn. Die willen we niet hebben. Als ieder een verschillende verjaardag moet hebben, zijn er voor de eerste van de 23 personen 365 mogelijkheden. Voor de tweede nog maar 364, want de verjaardag van de eerste komt niet meer in aanmerking. De derde heeft 363 mogelijkheden enz. In totaal zijn dat 365 \times 364 \times 363 \times \cdots \times 343 mogelijkheden. De kans q dat allen op verschillende dagen jarig zijn, is het quotiënt van deze twee totalen, dus:

q=\frac{365\times 364\times 363\times \cdots \times 343}{365\times 365\times 365\times \cdots \times 365} = 0{,}493.

De gevraagde kans p dat er gelijke verjaardagen voorkomen is het complement hiervan, dus:

p = 1-q = 0{,}507\!.

Voor een groep van n personen wordt de bovengenoemde kans q gegeven door:

q=\frac { 365 \times 364 \times \cdots \times (365-n+1)}{365^n } = { 365! \over 365^n (365-n)!} = \frac{n!}{365^n}{365 \choose n}.

Dit probleem kan ook op de volgende manier voorgesteld worden. In een vaas zitten 365 gele knikkers, de vrije verjaardagen. De eerste persoon pakt er willekeurig een knikker uit en legt er een rode voor in de plaats; zijn verjaardag is bezet. Elke volgende persoon pakt ook willekeurig een knikker en legt een rode terug. Alle n deelnemers trekken een knikker. De kans dat in de loop van het proces een rode knikker, dat wil zeggen een "dubbele verjaardag", wordt getrokken, neemt meer dan verwacht toe.

Hieruit volgt dat in meer dan de helft van alle voetbalselecties met 23 spelers er minstens twee zijn met dezelfde verjaardag. Op het wereldkampioenschap voetbal 2014 waren er 32 ploegen en er waren inderdaad zestien met minstens een gedeelde verjaardag.[2] (In de Nederlandse selectie hadden Dirk Kuijt en Daryl Janmaat dezelfde verjaardag.)

De denkfout bij een intuïtief antwoord[bewerken]

Bij veel wiskundige vraagstukken, met name bij kansrekening en statistiek, blijken mensen intuïtief tot verkeerde antwoorden te komen. Omdat deze ingevingen zo overtuigend zijn, voelen mensen geen enkele aanleiding om te twijfelen aan hun antwoord. Hierdoor worden op grote schaal verkeerde beslissingen genomen wanneer er bij de beoordeling van een situatie enige wiskundige kennis is vereist, zelfs wanneer ze over die kennis beschikken, zoals in wetenschappelijke publicaties en in beleidsstukken[3]

Sterk verjaardagsprobleem[bewerken]

Het "sterk verjaardagsprobleem" (strong birthday problem) is verwant aan de verjaardagenparadox. Hierin is de vraag: wat is de waarschijnlijkheid dat in een groep van n personen iedereen op dezelfde dag verjaart als iemand anders in de groep. Niemand verjaart alleen. Dit probleem zou voor het eerst geformuleerd en opgelost zijn door Anirban DasGupta in 2005. Deze waarschijnlijkheid is voor 23 personen uiterst klein (2 x 10-19). Pas met een groep van meer dan 2000 personen wordt ze meer dan verwaarloosbaar en ze wordt meer dan 50% bij een groep van n=3064 personen.

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Johannes A. Buchmann (2004): Introduction to cryptography, blz. 118, Springer
  2. " The birthday paradox at the World Cup". BBC News, 15 juni 2014
  3. Kahneman, D. (2011), "Ons feilbare denken". Amsterdam/Antwerpen: Uitgeverij Business Contact