Polychoron
Een polychoron, meervoud: polychora, Oudgrieks: πολύς, polus, veel en χῶρος, chōros, ruimte, ook polyhedroïde, is in de meetkunde een polytoop in vier dimensies. Een polychoron komt dus met een veelhoek in twee dimensies en een veelvlak in drie dimensies overeen.
De wiskundigen Norman Johnson en George Olshevsky hebben de naam polychoron bedacht. Polychora zijn het onderwerp van studie van het Uniform Polychora Project, dat poogt lichamen in meer dimensies te classificeren.
Net zoals er regelmatige veelhoeken en veelvlakken bestaan, bestaan er ook regelmatige polychora. Deze worden door gelijkvormige regelmatige veelvlakken begrensd. De tesseract of hyperkubus, een regelmatige polychoron die uit acht kubussen bestaat, is het bekendste polychoron. Er zijn zes regelmatige polychora. Zij hebben net zoals de regelmatige veelvlakken een duaal veelvlak hebben, hun duale polychoron. De zes regelmatige polychora zijn:
| polychoron | schläfli-symbool | hoekpunten | ribben | zijden | veelvlakken | duale polychoron | symmetriegroep | orde |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4-simplex | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 driehoeken | 5 viervlakken | zelf-duaal | alternerende groep A4 | 120 |
| tesseract | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 vierkanten | 8 kubussen | 16-cel | B4 | 384 |
| 16-cel | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 driehoeken | 16 viervlakken | tesseract | B4 | 384 |
| 24-cel | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 driehoeken | 24 achtvlakken | zelf-duaal | F4 | 1.152 |
| 120-cel | {5,3,3} | 600 | 1.200 | 720 vijfhoeken | 120 twaalfvlakken | 600-cel | H4 | 14.400 |
| 600-cel | {3,3,5} | 120 | 720 | 1.200 driehoeken | 600 viervlakken | 120-cel | H4 | 14.400 |
Alle in de tabel genoemde veelhoeken en veelvlakken zijn regelmatig. Waar er bijvoorbeeld driehoek staat gaat het om een gelijkzijdige driehoek.
- literatuur
- (en) HSM Coxeter en MS Longuet-Higgins en JCP Miller in Philosophical Transactions. Uniform Polyhedra, 1954.
- (en) HSM Coxeter. Regular Polytopes, 1973.
- (en) N Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, 1966. proefschrift aan de Universiteit van Toronto
- websites
- (en) N Johnson. Hyperbolic Coxeter Groups, 2004. gearchiveerd
- (en) YouTube. Perfect Shapes in Higher Dimensions - Numberphile.