Primitieve functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Primitieve (functie))
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de integraalrekening is een primitieve functie van een gegeven functie elke functie, vaak aangeduid met , waarvan de afgeleide gelijk is . Een primitieve functie van is op een daarbij op te tellen vast getal (een additieve constante) na bepaald; de afgeleide van een vast getal is immers nul. Andere namen voor primitieve functie zijn stamfunctie of kortweg primitieve. Voor de eenvoud wordt op de middelbare school de primitieve functie ook omgekeerde afgeleide genoemd.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een functie wordt een primitieve functie van de functie genoemd, als differentieerbaar is en de afgeleide van gelijk is aan .

Context[bewerken | brontekst bewerken]

De bovenstaande definitie kan in verschillende contexten toegepast worden, al naargelang van wat men onder een differentieerbare functie verstaat. Meestal gaat het om een reëelwaardige functie die op een gegeven interval continu reëel differentieerbaar is. In de complexe analyse zal men de (strengere) eis van complexe differentieerbaarheid (holomorfie) opleggen. In de theorie van de lebesgue-integraal zijn en klassen van onderling equivalente functies (functies die slechts op een nulverzameling verschillen), en dan is bijna overal reëel differentieerbaar, en is de afgeleide bijna overal gelijk aan .

Als een primitieve is van en is een constante, dan is eveneens een primitieve van . Men zegt wel dat een primitieve "op een constante na bepaald is".

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

In de onderstaande voorbeelden is de onafhankelijke veranderlijke van een reële of complexe functie.

  • De functies en zijn beide primitieven van de constante functie .
  • De functie is een primitieve van de functie
  • De functie is een primitieve van
  • Noteer voor de functie die de waarde 1 aanneemt voor alle positieve en de waarde 0 elders. Noteer voor de functie die de waarde 1 aanneemt voor alle negatieve en de waarde 0 elders. Dan is voor elke twee reële constanten en de functie een primitieve van . Merk op dat het domein van deze functie en haar primitieven de waarde uitsluit. Doordat het domein niet samenhangend is, zijn twee onafhankelijke constanten mogelijk.

Hoofdstelling van de integraalrekening[bewerken | brontekst bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Hoofdstelling van de integraalrekening voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Zij een primitieve van en laat het gesloten interval tot het inwendige van het domein van behoren. Dan geldt

met andere woorden, afgeleide en integraal zijn omgekeerde bewerkingen. Ook volgt hieruit dat een bepaalde integraal kan worden berekend met behulp van een onbepaalde integraal ofwel de primitieve. Omgekeerd is de bepaalde integraal als functie van de bovengrens b een primitieve van de geïntegreerde functie.

De hoofdstelling van de integraalrekening geldt ook in de lebesgue-integratietheorie, op voorwaarde dat het gelijkteken als bijna overal gelijk geïnterpreteerd wordt.

Integreren, het bepalen van de primitieve[bewerken | brontekst bewerken]

Strikt genomen omvat integreren meer dan alleen het vinden van de primitieve van een functie, maar vaak wordt met 'integreren' alleen het bepalen van de primitieve aangeduid. Het vinden van de primitieve functie is een belangrijk onderwerp binnen de integraalrekening. In feite zijn alle berekeningen nodig om een integraal uit te rekenen, een onderdeel van het integreren.

Het minst gecompliceerd bij integreren is het bepalen van de primitieve van eenvoudige functies, zoals gegeven in een lijst van integralen. Voor het integreren van samengestelde functies bestaan verschillende technieken. De meestgebruikte technieken zijn integreren door substitutie, breuksplitsen en partieel integreren.

Sommige primitieve functies kunnen niet in elementaire functies worden uitgedrukt, zoals:

  • de sinusintegraal: