Riemann-Siegel-formule

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Riemann-Siegel-formule is in de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, een asymptotische formule voor de fout in de benadering van de functionaalvergelijking van de Riemann-zèta-functie, een benadering van de zèta-functie door een eindige som van twee eindige Dirichletreeksen.

De Riemann-Siegel-formule werd in 1932 door Carl Ludwig Siegel gevonden in een verzameling ongepubliceerde manuscripten van Bernhard Riemann uit de jaren 1850. Siegel leidde de formule af van de Riemann-Siegel-integraalformule, een expressie voor de zèta-functie waarin gebruik wordt gemaakt van contourintegralen. Ze wordt vaak gebruikt om waarden van de Riemann-Siegel-formule te berekenen, soms in combinatie met het algoritme van Odlyzko-Schönhage, dat de berekening aanzienlijk versnelt. Wanneer gebruikt langs de kritieke lijn, is het vaak nuttig de formule in een vorm te gebruiken, waarin het een formule voor de Z-functie wordt.

Als M en N niet-negatieve gehele getallen zijn, dan is de zèta-functie gelijk aan

\zeta(s) = \sum_{n=1}^N\frac{1}{n^s} + \gamma(1-s)\sum_{n=1}^M\frac{1}{n^{1-s}} + R(s)

waar

\gamma(s) = \pi^{\tfrac{1}{2}-s} \frac{\Gamma \left (\tfrac{s}{2} \right)}{\Gamma \left(\tfrac{1}{2}(1-s)\right)}

de factor is die verschijnt in de functionele vergelijking ζ(s) = γ(s) ζ(1 − s) en waar

R(s) = \frac{-\Gamma(1-s)}{2\pi i}\int \frac{(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^x-1}dx

een contourintegraal is, waarvan de contour begint en eindigt op +∞ en de singulariteiten van de absolute waarde op ten hoogste 2πM omcirkelt. De geschatte functionaalvergelijking geeft een schatting van de grootte van de foutterm. Siegel en Edwards [1] leiden de Riemann-Siegel-formule hieruit af door op deze integraal de methode van de steilste afdaling toe te passen om zo een asymptotische expansie van de foutterm R(s) te geven als een reeks van negatieve machten van Im(s). In toepassingen ligt s meestal op de kritieke lijn, en worden de positieve gehele getallen M en N gekozen om over 2πIm(s)1/2.Gabcke [2] vond in 1979 goede begrenzingen voor de fout in de Riemann-Siegel-formule.

Integraalformule van Riemann[bewerken]

Riemann liet zien dat

\int_{0 \searrow 1} \frac{e^{-i\pi u^2+2\pi i pu}}{e^{\pi i u}-e^{-\pi i u}} du = \frac{e^{i\pi p^2}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p} - e^{-i \pi p}}

waar de contour van de integratie een lijn is met helling -1 die tussen 0 en 1 passeert (Edwards, 1974, 7.9)

Hij gebruikte dit resultaat om de onderstaande integraalformula voor de zèta-functie te geven:

\pi^{-\tfrac{s}{2}}\Gamma\left (\tfrac{s}{2} \right)\zeta(s)= \pi^{-\tfrac{s}{2}}\Gamma \left (\tfrac{s}{2} \right) \int_{0\swarrow 1}\frac{x^{-s}e^{\pi i x^2}}{e^{\pi i x}-e^{-\pi i x}}\,dx +\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma \left (\tfrac{1-s}{2} \right)\int_{0\searrow 1}\frac{x^{s-1}e^{-\pi i x^2}}{e^{\pi i x}-e^{-\pi i x}}\,dx

Voetnoten[bewerken]

  1. Siegel, 1932 en Edwards, 1974
  2. Gabcke, 1979

Bronvermelding[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • Berry, Michael V., The Riemann–Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders, 1995, Proceedings of the Royal Society. London. series A, Mathematical, Physical and Engineering Sciences, ISSN 0962-8444, Vol: 450, Issue 1939, blz. 439–462
  • Edwards, H.M., Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics, vol 58, New York-London, Academic Press, 1974, ISBN 0-12-232750-0
  • Wolfgang Gabcke, 1979, Georg-August-Universität Göttingen, Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel
  • Patterson, S.J., An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol: 14, Cambridge, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-33535-3
  • Siegel C.L., Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2, blz. 45–80, 1932, herdrukt in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

Externe links[bewerken]