Vlak (meetkunde)

Een plat vlak

Een plat vlak in de meetkunde is een basisbegrip dat zich moeilijk nader laat definiëren, maar dat men zich kan voorstellen als een plat, oneindig oppervlak of variëteit zonder enige kromming. Formeel gedefinieerd is het een tweedimensionale affiene ruimte.

Een vlak deelt een driedimensionale ruimte in tweeën. Deze twee deelruimtes worden halfruimtes genoemd.

Representaties

Je kunt een plat vlak op verschillende manieren representeren. We beschrijven hier de meest gebruikte methoden:

Punt en normaalvector

Een plat vlak kan vastgelegd worden door een punt P in het vlak en een vector n loodrecht op het vlak, de normaalvector, die de oriëntatie van het vlak bepaalt. Het vlak bestaat dan uit de punten waarvan de verschilvector met P loodrecht op de normaalvector staat. Het vlak is dus:

$\{Q|(Q-P)\cdot n=0\}\,$

Als P en n in een driedimensionale ruimte gegeven zijn door:

$P=(x_{0},y_{0},z_{0}),n=(x_{n},y_{n},z_{n})\,$,

bestaat het vlak uit de punten (x,y,z) waarvoor geldt::

$xx_{n}+yy_{n}+zz_{n}=x_{0}x_{n}+y_{0}y_{n}+z_{0}z_{n}\,$.

Vlakvergelijking

Uit het voorgaande zien we dat de punten in een plat vlak voldoen aan de algemene vlakvergelijking:

$\,ax+by+cz+d=0$

Hierin is (a,b,c) de normaalvector van het vlak. Als $P=(x_{0},y_{0},z_{0})\,$ een gegeven punt in het vlak is, geldt:

$\,d=-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}$.

Drie punten

Drie punten P₁, P₂ en P₃ die niet op één rechte liggen, bepalen precies het vlak:

$\{aP_{1}+bP_{2}+cP_{3}|a+b+c=1\}\,$.

Zie ook

• Tweedimensionaal
• Driedimensionaal
• Halfruimte
• Oppervlakte
• Millerindices