QR-decompositie

In de lineaire algebra is een QR-decompositie van een vierkante matrix $A$ een opsplitsing van die matrix in een product

$A=QR$

van een orthogonale matrix $Q$ en een bovendriehoeksmatrix $R$. QR-decompositie kan gegeneraliseerd worden voor niet-vierkante matrices, waarbij de bovendriehoeksmatrix geen vierkante matrix is, maar dezelfde afmetingen heeft als $A$.

QR-decompositie wordt bij de kleinste-kwadratenmethode veel gebruikt voor het oplossen van het stelsel lineaire vergelijkingen. Het is de basis voor het QR-algoritme, een speciaal algoritme voor het eigenwaarde-probleem.

Als de matrix $A$ $n$ lineair onafhankelijke kolommen heeft, vormen de eerste $n$ kolommen van $Q$ een orthonormale basis voor de kolommenruimte van $A$. In het bijzonder vormen voor $1\leq k\leq n$ de eerste $k$ kolommen van $Q$ een orthonormale basis voor de ruimte die wordt opgespannen door de eerste $k$ kolommen van $A$. Als gevolg hiervan is de matrix $R$ een driehoeksmatrix.

De QR-decompositie kan op verschillende manieren berekend worden:

• met de Gram-Schmidtmethode; die is echter niet numeriek stabiel;
• met Householder-transformaties;
• met Givens-rotaties.

Externe links

• Online Matrix Calculator Performs QR decomposition of matrices.
• LAPACK users manual gives details of subroutines to calculate the QR decomposition
• Mathematica users manual gives details and examples of routines to calculate QR decomposition
• ALGLIB includes a partial port of the LAPACK to C++, C#, Delphi, etc.
• Eigen::QR Includes C++ implementation of QR decomposition.
• Into contains an open source implementation of QR decomposition in C++.