Multivariate normale verdeling

In de kansrekening en de statistiek is de multivariate normale verdeling een speciale kansverdeling: het is het analogon van de normale verdeling in meer dimensies. De verdeling wordt ook wel met multidimensionale normale verdeling en multivariate Gaussische verdeling aangeduid.

Definitie

De stochastische vector $X=[X_{1},\dots ,X_{N}]$ heeft een multivariate normale verdeling met gemiddelde $\mu =[\mu _{1},\dots ,\mu _{N}]$ en covariantiematrix $\Sigma$ (positief definiete $N\times N$ matrix) als de kansverdeling gedefinieerd is als:

$f_{X}(x_{1},\dots ,x_{N})={\frac {1}{(2\pi )^{N/2}\left|\Sigma \right|^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{\top }\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right)$

hier bij is $\left|\Sigma \right|$ is de determinant of $\Sigma$.

Notatie: $X\sim N(\mu ,\Sigma )$. Net als bij de univariate normale verdeling, is de cumulatieve kansverdelingsfunctie niet expliciet op te schrijven.

Speciaal geval: univariate normale verdeling

Als N = 1 dan krijg je de univariate (gewone) normale verdeling. Dit is direct te zien, door de formule van de kansverdeling in te vullen, nu met $\mu$ een scalair en $\Sigma$ een positief scalair:

$f_{X}(x_{1})={\frac {1}{(2\pi )^{1/2}\Sigma ^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{2}/\Sigma \right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma }}(x-\mu )^{2}\right)$

wanneer we $\sigma ={\sqrt {\Sigma }}$ definiëren.

Speciaal geval: bivariate normale verdeling

Als N = 2 dan krijg je de bivariate normale verdeling. Als je als notatie invoert $(x,y)=(x_{1},x_{2})$ en $\Sigma ={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&\rho \sigma \tau \\\rho \sigma \tau &\tau ^{2}\end{pmatrix}}$ (hierbij is $\rho$ de correlatiecoëfficiënt tussen X en Y), dan is de formule van de kansverdeling

$f(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma \tau {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp(-{1 \over 2(1-\rho ^{2})}(({x-\mu \over \sigma })^{2}-2\rho ({x-\mu \over \sigma })({y-\nu \over \tau })+({y-\nu \over \tau })^{2}))$.

Eigenschappen

Als $X=[X_{1},\dots ,X_{N}]\sim N(\mu ,\Sigma )$ dan geldt:

• Elke willekeurige lineaire combinatie $Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{N}X_{N}$ heeft een (univariate) normale verdeling, met gemiddelde $a\cdot \mu$ en variantie $a\Sigma a^{\top }$.
• De karakteristieke functie en momentgenererende functie zijn gegeven zoals vermeld in het overzicht rechtsboven.

Gaussprocessen

Een Gaussproces is een stochastisch proces waarvan de eindigdimensionale verdelingen (de verdeling van de waardenvector van het proces op een eindige verzameling tijdstippen) normaal zijn. Klassieke voorbeelden van Gaussprocessen zijn: de Brownse beweging en het Ornstein-Uhlenbeckproces.