Stelling van Thales (rechten)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De stelling van Thales is een meetkundige stelling, geformuleerd door de wiskundige/filosoof Thales van Milete.

Volgens de legende gebruikte Thales deze stelling om de hoogte van de Egyptische piramiden te berekenen, gebruikmakend van de lengte van de schaduw van iedere piramide en de lengte van de schaduw van een stok met bekende lengte.

Stellingen[bewerken | brontekst bewerken]

Over evenredige lijnstukken door evenwijdige lijnen[bewerken | brontekst bewerken]

Thales theorem 3.png

Evenwijdige lijnen snijden van twee lijnen evenredige stukken af.

Anders gezegd:
als drie evenwijdige rechten twee willekeurige rechten r en l snijden, in A,B,C en A',B',C' respectievelijk, dan:

Of anders geschreven:

Dit wijst op de volgende eigenschap: de evenwijdige projectie van een rechte op een andere, bewaart de verhoudingen. Op deze manier kon Thales dus de hoogte van de piramiden bepalen, door te rekenen met de verhouding tussen de hoogte van de stok en de lengte van zijn schaduw.

Bewijs met behulp van de oppervlakte van een driehoek[bewerken | brontekst bewerken]

Een mogelijk bewijs van deze stelling verloopt als volgt:

  • Noem S het snijpunt van de twee rechten r en l.
  • Driehoeken AA'B' en AA'B hebben gelijke oppervlakte, want
    • gelijke basis |AA'|
    • gelijke hoogte vanwege de evenwijdigheid van AA' en BB'
  • Driehoeken SAB' en SA'B hebben dus ook gelijke oppervlakte.
  • Hieruit volgt dat |SA|/|SA'|=|SB|/|SB'|, als we de oppervlakten opnieuw uitwerken met als hoogte de loodrechte projectie van A en B op de overstaande zijde.
  • Daarna geldt de volledige stelling door dit tweemaal toe te passen, en door transitiviteit van de gelijke verhoudingen.

Hier moeten we opmerken dat de formules van oppervlakten niet zomaar kunnen worden afgeleid van de (Euclidische) axioma's van de vlakke meetkunde en uiteindelijk terugvallen op het feit dat R de sluiting is van Q, zodat de oppervlakte van een rechthoek kan worden afgeleid van die van een vierkant, enz.

Bewijs met behulp van de volledigheid van R[bewerken | brontekst bewerken]

Een ander bewijs verloopt als volgt:

  • Eerst toont men de eigenschap aan voor gelijke lijnstukken
  • Vervolgens voor onderling meetbare lijnstukken, die men immers in een evenredig aantal gelijke stukken kan verdelen
  • Ten slotte voor onderling niet meetbare lijnstukken, door aan te tonen dat beide verhoudingen in een interval liggen dat men zo klein kan maken als men maar wil. Hiervoor neemt men impliciet aan dat R, de verzameling van reële getallen, de sluiting is van Q, de verzameling der rationale getallen, en dat een begrensde rij rationale getallen convergeert naar een uniek reëel getal. Die grondslag van de getallenleer wordt meestal niet vermeld in de lessen vlakke meetkunde, maar impliciet aangenomen (wat in essentie geen wiskundige houding is).

Toepassingen[bewerken | brontekst bewerken]

Andere vormen[bewerken | brontekst bewerken]

Thales theorem 1.png Thales theorem 2.png

De stelling van Thales blijft geldig als een puntenpaar samenvalt met het snijpunt van de twee lijnstukken (zie figuur). In ieder van deze gevallen geldt (dankzij de stelling van Thales):

Bepalen hoogte piramiden[bewerken | brontekst bewerken]

De legende wil dat Thales, tijdens een reis naar Egypte, de piramiden bezocht die enkele eeuwen voorheen gebouwd waren. Hij bewonderde die bouwwerken en wilde de hoogte van de Piramide van Cheops kennen.

Hij probeerde dit met behulp van gelijkvormige driehoeken en zijn stelling. Hij veronderstelde dat de invallende zonnestralen parallel zijn en daarmee leidde hij een verband af tussen de lengte van de schaduw van de piramide en zijn hoogte.

Een overgebleven probleem was nu nog het berekenen van de lengte van de schaduw waarvoor hij vanuit het centrum van de piramide (uiteraard niet toegankelijk) moest beginnen. Hij merkte op, dat de zonnestralen loodrecht op twee zijden van de piramide stonden; het volstond dus de lengte van de schaduw tot de voet van de piramide te meten en daar de helft van de lengte van een zijde bij te tellen.

Thales theorem 6.png

Thales kon dus de lengte (voet) van de piramide en de hoogte van de stok opmeten. In de middag ging hij beide schaduwen opmeten.

  • hoogte van de paal (A): 1.63m
  • schaduw van de paal (B): 2m
  • basislengte (aan voet) van de piramide: 230m
  • schaduw van de piramide: 65m

Hiermee berekende hij:

Doordat A, B en C gekend waren, kon hij de hoogte D uitrekenen: