Weierstrass-substitutie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Weierstrass-substitutie, genoemd naar de Duitse wiskundige Karl Weierstrass, is een methode om met behulp van substitutie een integraal te berekenen. Met deze methode kan de primitieve functie van een rationale functie in en bepaald worden. Door de substitutie ontstaat een nieuwe rationale functie in de nieuwe variabele

Vorm van de substitutie[bewerken]

De substitutie wordt gebruikt om de integraal te bepalen van een rationale functie van en dus een breuk met in teller en noemer een polynoom die machten van en bevat. Ook de andere goniometrische functies kunnen voorkomen aangezien die herleid kunnen worden tot sinussen en cosinussen. De integraal is dus van de vorm:

De Weierstrass-substitutie die in dat geval voor kan worden toegepast, is:

dus

Door deze sustitutie worden en als functie van :

Deze uitdrukkingen volgen op eenvoudige wijze uit de basisformules van de goniometrie door overgang op de halve hoek:

en:

Verder is:

,

dus

Het resultaat van deze substitutie is een rationale functie in de variabele

Speciaal geval[bewerken]

Een speciaal geval doet zich voor als de te integreren functie alleen even machten van sinus en cosinus bevat:

Dan is de substitutie

beter geschikt en worden de bijhorende substituties:

en voor de differentiaal:

Voorbeeld[bewerken]

De integrand in de volgende integraal is een rationale functie:

Na toepassing van de Weierstrass-substitutie wordt dit een rationale integraal in de variabele

Deze integraal kan nu verder worden opgelost met de technieken die beschikbaar zijn voor het integreren van een rationale integrand. In dit geval is breuksplitsing een geschikte methode. In dit voorbeeld wordt dit :

zodat:

Na terugsubstitutie van volgt:

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]