Discrete ruimte

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een discrete ruimte een eenvoudig voorbeeld van een topologische ruimte, en wel een ruimte waarin de punten in zekere zin van elkaar zijn "geïsoleerd". In een discrete ruimte zijn alle punten geïsoleerde punten. De topologie van een discrete ruimte, de discrete topologie, is de machtsverzameling, dus de verzameling van alle deelverzamelingen. In de discrete topologie is dus elke deelverzameling een open verzameling,

Definities

Gegeven een verzameling X:

• De discrete topologie op X wordt gedefinieerd door elke deelverzameling van X open te laten zijn. X is een discrete topologische ruimte als X is uitgerust is met een discrete topologie;
• De discrete uniformiteit op X wordt gedefinieerd door elke superset van de diagonaal {(x,x) : x is in X} in X × X een entourage te laten zijn. X is een discreet uniforme ruimte als X is uitgerust met haar discrete uniformiteit.
• De discrete metriek $\rho$ op X wordt gedefinieerd door

$\rho(x,y) = \left\{\begin{matrix} 1 &\mbox{if}\ x\neq y , \\ 0 &\mbox{if}\ x = y \end{matrix}\right.$

voor enige $x,y \in X$. In dit geval wordt $(X,\rho)$ een discrete metrieke ruimte of een ruimte van geïsoleerd punten genoemd.

Van een metrische ruimte $(E,d)$ zegt men dat deze uniform discreet is, als er een $r>0$ bestaat, zodat voor elke $x,y \in E$, ofwel een $x=y$ of $d(x,y)>r$. De topologie die ten grondslag ligt aan een metrische ruimte kan discreet worden, zonder dat de metriek gelijkmatig discreet is: bijvoorbeeld de gebruikelijke metriek op de verzameling {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} van reële getallen.