HM-GM-AM-QM

Een veel gebruikte formule, voornamelijk in wiskunde-olympiades en andere wedstrijden, is de HM-GM-AM-QM-ongelijkheid. Dit is de ongelijkheid die zegt dat voor positieve reële getallen $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ geldt dat het harmonisch gemiddelde (harmonic mean, HM) kleiner of gelijk is aan het meetkundig gemiddelde (geometric mean, GM), dat die op zijn beurt weer kleiner of gelijk is aan het rekenkundig gemiddelde (arithmetic mean, AM), en dat die kleiner of gelijk is aan het kwadratisch gemiddelde (quadratic mean, QM). In formulevorm:

$\min \left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)\leq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{\prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}}}\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}a_{i}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}{n}}}\leq \max \left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)$

Al deze gemiddelden zijn speciale wortelgemiddelden.

Bewijs

Het bewijs voor n=2 wordt voor elke ongelijkheid afzonderlijk geleverd. Elk van deze deelbewijzen berust erop dat een kwadraat van een reëel getal altijd positief is.

HM-GM

Algemeen geldt dat

$({\sqrt {a_{1}}}-{\sqrt {a_{2}}})^{2}\geq 0$.

Uitwerken van het kwadraat levert:

$a_{1}+a_{2}\geq 2{\sqrt {a_{1}a_{2}}}$.

Na aan beide kanten te vermenigvuldigen met ${\frac {\sqrt {a_{1}a_{2}}}{a_{1}+a_{2}}}$ staat er

${\sqrt {a_{1}a_{2}}}\geq {\frac {2a_{1}a_{2}}{a_{1}+a_{2}}}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}}}$.

GM-AM

Het vorige deelbewijs liet zien dat

$a_{1}+a_{2}\geq 2{\sqrt {a_{1}a_{2}}}$,

zodat

${\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}\geq {\sqrt {a_{1}a_{2}}}$.

AM-QM

Uitgaande van

$(a_{1}-a_{2})^{2}\geq 0$

volgt

$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\geq 2a_{1}a_{2}$.

Als daar aan beide kanten $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}$ bij opgeteld wordt en gedeeld wordt door 4, staat er:

${\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}{2}}\geq {\frac {(a_{1}+a_{2})^{2}}{4}}$.

Na aan beide kanten de wortel te trekken is de uitkomst

${\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}{2}}}\geq {\sqrt {\frac {(a_{1}+a_{2})^{2}}{4}}}={\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}$.

Hiermee zijn de ongelijkheden bewezen voor n=2. Voor hogere n is het bewijs iets ingewikkelder, maar het komt op hetzelfde principe neer.

Bewijs GM-AM voor hogere n met de stelling van Jensen

Met de logaritme-functie geeft Jensen:

${\frac {\sum _{k=1}^{n}\log {a_{k}}}{n}}\leq \log {\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}}{n}}$

Verhef vervolgens 10 tot de machten aan de linker- en rechterkant van deze ongelijkheid, en er staat:

${\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\leq {\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}}{n}}$

Gelijkheid

Alle gemiddelden zijn hetzelfde als alle getallen $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ hetzelfde zijn. Verder bestaat er geen harmonisch gemiddelde als

$a_{i}=0$

voor bepaalde

$i\leq n$.