Kwadraatvrij geheel getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een kwadraatvrij geheel getal is in de wiskunde een geheel getal dat niet deelbaar is door een kwadraatgetal, behalve 1. Zo is bijvoorbeeld 10 een kwadraatvrij geheel getal, maar 18 niet, want 18 is deelbaar door 9 = 32. De kleinste kwadraatvrije getallen zijn

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, ...

(rij A005117 in OEIS)

Equivalente definities van kwadraatvrije getallen[bewerken]

Een geheel getal n is kwadraatvrij dan en slechts dan als in de priemontbinding van het getal geen getal meer dan een keer voorkomt. Ook kan men zeggen dat een getal kwadraatvrij is als voor geen enkele deler p van n geldt dat p | n / p. Een derde definitie is dat voor iedere ontbinding n = a \times b geldt dat a en b relatief priem zijn.

Het natuurlijke getal n is kwadraatvrij dan en slechts dan als μ(n) ≠ 0, waar μ voor de Möbiusfunctie staat.

Verdeling van kwadraatvrije getallen[bewerken]

Laat Q(x) het aantal kwadraatvrije getallen zijn tussen 1 en x. Dan geldt:

Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O(\sqrt{x})

Hierdoor geldt de volgende limiet

\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}

waarbij ζ de Riemann-zeta-functie is.

Op dezelfde manier geldt, dat als Q(x,n) het aantal nde-machtsvrije getallen tussen 1 en x is dan:

\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x,n)}{x} = \frac{1}{\zeta(n)}.

Vermoeden van Erdös over kwadraatvrije getallen[bewerken]

De binomiaalcoëfficiënt {2n \choose n} is nooit kwadraatvrij voor n > 4. Dit is in 1996 bewezen door Olivier Ramaré en Andrew Granville.