Kwadraatvrij geheel getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een kwadraatvrij geheel getal is in de wiskunde een geheel getal dat niet deelbaar is door een kwadraatgetal, behalve 1. Zo is bijvoorbeeld 10 een kwadraatvrij geheel getal, maar 18 niet, want 18 is deelbaar door 9 = 32. De kleinste kwadraatvrije getallen zijn

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, ...

(rij A005117 in OEIS)

Equivalente definities van kwadraatvrije getallen[bewerken]

Een geheel getal n is kwadraatvrij dan en slechts dan als in de priemontbinding van het getal geen getal meer dan een keer voorkomt. Ook kan men zeggen dat een getal kwadraatvrij is als voor geen enkele deler p van n geldt dat p | n / p. Een derde definitie is dat voor iedere ontbinding n = a \times b geldt dat a en b relatief priem zijn.

Uit deze definitie volgt dat elk priemgetal een kwadraatvrij getal is.

Het natuurlijke getal n is kwadraatvrij dan en slechts dan als μ(n) ≠ 0, waar μ voor de Möbiusfunctie staat.

Verdeling van kwadraatvrije getallen[bewerken]

Laat Q(x) het aantal kwadraatvrije getallen zijn tussen 1 en x. Dan geldt:

Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O(\sqrt{x})

Hierdoor geldt de volgende limiet

\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}

waarbij ζ de Riemann-zeta-functie is.

Op dezelfde manier geldt, dat als Q(x,n) het aantal nde-machtsvrije getallen tussen 1 en x is dan:

\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x,n)}{x} = \frac{1}{\zeta(n)}.

Testen van kwadraatvrijheid[bewerken]

Er is nog geen algoritme bekend, waarmee snel kan beslist worden of een willekeurig gegeven getal kwadraatvrij is; tenzij door de priemontbinding uit te voeren, wat echter voor zeer grote getallen veel rekenwerk vergt. Andrew R. Booker, Ghaith A. Hiary en Jon P. Keating hebben een algoritme ontwikkeld dat zonder de priemontbinding uit te voeren kan bewijzen of een gegeven geheel getal kwadraatvrij is. Het algoritme veronderstelt echter wel de correctheid van de veralgemeende Riemann-hypothese (veralgemeend in de zin dat de Riemann-zèta-functie vervangen is door de meer algemene L-functies).[1]

Vermoeden van Erdös over kwadraatvrije getallen[bewerken]

De binomiaalcoëfficiënt {2n \choose n} is nooit kwadraatvrij voor n > 4. Dit is in 1996 bewezen door Olivier Ramaré en Andrew Granville.

Bronnen, noten en/of referenties