Laurent-veelterm

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Laurent-veelterm (vernoemd naar Pierre Alphonse Laurent) in één variabele over een veld \mathbb{F} een lineaire combinatie van een eindig aantal positieve en negatieve machten van deze variabele met coëfficienten in \mathbb{F}. Laurent-veeltermen in X vormen een ring die wordt aangeduid door \mathbb{F}[X, X−1].

Een Laurent-veelterm kent slechts een eindig aantal ringelementen ring a_k zijn ongelijk aan 0 zijn. Een Laurent-veelterm kan dus als een Laurentreeks worden opgevat waar slechts een eindig aantal coëfficiënten van 0 verschillen. Laurent-veeltermen verschillen verder van gewone veeltermen in dat zij termen met een negatieve graad hebben.

Definitie[bewerken]

Een Laurent-veelterm met coëfficienten in een veld \mathbb{F} is een uitdrukking van de vorm

 p = \sum_k p_k X^k, \quad p_k\in \mathbb{F}

waar X een formele variabele is en de sommatie-index k een geheel getal (niet per se positief) is. Slechts een eindig aantal coëfficiënten pk zijn ongelijk aan nul.

Twee Laurent-veeltermen zijn gelijk aan elkaar als de coëfficiënten aan elkaar gelijk zijn. Dergelijke uitdrukkingen kunnen worden opgeteld, vermenigvuldigd, en teruggebracht worden naar dezelfde vorm door soortgelijke termen te elimineren. De formules voor optellen en vermenigvuldigen van Laurent-polynomen zijn exact dezelfde als die voor normale polynomen, met als enige verschil dat zowel positieve als negatieve machten van X aanwezig kunnen zijn:

\left(\sum_i a_iX^i\right) + \left(\sum_i b_iX^i\right) = 
\sum_i (a_i+b_i)X^i

en

\left(\sum_i a_iX^i\right) \cdot \left(\sum_j b_jX^j\right) = 
\sum_k \left(\sum_{i,j: i + j = k} a_i b_j\right)X^k.

Aangezien slechts een eindig aantal coëfficiënten ai en bj ongelijk aan nul zijn, bestaan alle sommen effectief maar uit een eindig aantal termen. Zij representeren dus Laurent-veeltermen.