Meetbare functie

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, zijn meetbare functies welgemanierde functies tussen meetbare ruimten. Functies die in de wiskundige analyse worden onderzocht, die niet meetbaar zijn worden in het algemeen als pathologisch beschouwd.

Als Σ een σ-algebra is over een verzameling X en Τ een σ-algebra is over Y, dan is een functie f : X → Y meetbaar Σ/Τ als de preimage van elke verzameling in Τ in Σ besloten ligt.

Volgens afspraak geldt dat als Y een topologische ruimte is, zoals de ruimte van reëel getallen $\mathbb{R}$ of de complexe getallen $\mathbb{C}$, dat dan de Borel σ-algebra, gegenereerd door de open verzameling op Y, wordt gebruikt, tenzij anders wordt gespecificeerd. De meetbare ruimte (X, Σ) wordt in dit geval ook wel een Borel-ruimte genoemd.

Als het uit de context duidelijk is wat Τ and/or Σ betekenen, dan wordt de functie f meestal Σ-meetbaar of simpelweg meetbaar genoemd.

Niet-meetbare functies

Niet alle functies zijn meetbaar. Als bijvoorbeeld $A$ een niet-meetbare deelverzameling is van de reële lijn $\R$, dan is de indicatorfunctie $1_A(x)$ van $A$ ook niet-meetbaar.

Zie ook

• Vectorruimten van meetbare functies: de L ^p-ruimten.