Probleem van Cauchy

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een probleem van Cauchy is een veelvoorkomend probleem in de wiskundige natuurkunde, waarbij men zoekt naar een oplossing van een partiële differentiaalvergelijking die voldoet aan voorwaarden gegeven op een hyperoppervlak. Een probleem van Cauchy is een veralgemening van een beginvoorwaardeprobleem (in contrast tot randwaardeprobleem). Het probleem is vernoemd naar de 19e-eeuwse Franse wiskundige Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857).

Veronderstel dat de partiële differentiaalvergelijking is gedefinieerd op Rn en beschouw een differentieerbare variëteit SRn van dimensie n − 1 (S wordt een Cauchy-oppervlak genoemd). Het probleem van Cauchy bestaat uit het vinden van de oplossing u van de differentiaalvergelijking, die voldoet aan:

 \begin{align}
u(x) &= f_0(x) \qquad && \text{ voor alle } x\in S; \\
\frac{\part^k u(x)}{\part n^k} &= f_k(x) \qquad && \text{ voor } k=1,\ldots,\kappa-1 \text{ en alle } x\in S,
\end{align}

met daarin

f_k gegeven functies gedefinieerd op het oppervlak S (samen de Cauchy-data van het probleem genoemd);
n de normaalvector op S;
κ de orde van de differentiaalvergelijking.

De stelling van Cauchy-Kovalevskaya beweert dat Cauchy-problemen onder bepaalde condities, waarvan de belangrijkste is dat de Cauchy-data en de coëfficiënten van de partiële differentiaalvergelijking reële analytische functies zijn, unieke oplossingen hebben.

Externe link[bewerken]