Schakelgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De twee krommen van deze (2,4)-torusschakel heeft schakelgetal vier.

In de knopentheorie, een deelgebied van de topologie, is het schakelgetal een numerieke invariantie die de geschakeldheid van twee gesloten krommen in de drie-dimensionale ruimte beschrijft. Intuïtief geeft het schakelgetal het aantal keren weer dat elke kromme rond de andere draait. Het schakelgetal is altijd een geheel getal, maar kan naar gelang de oriëntatie van de twee krommen zowel positief als negatief zijn.

Definitie[bewerken]

Elke twee gesloten krommen in een ruimte kunnen in precies een van de volgende standaard posities worden overvoerd. Dit bepaalt het schakelgetal:

\cdots Linking Number -2.svg Linking Number -1.svg Linking Number 0.svg
schakelgetal -2 schakelgetal -1 schakelgetal 0
Linking Number 1.svg Linking Number 2.svg Linking Number 3.svg \cdots
schakelgetal 1 schakelgetal 2 schakelgetal 3

Elke kromme kan gedurende deze operatie door zichzelf passeren, maar de twee krommen moeten gedurende de gehele operatie gescheiden blijven.

Berekenen van het schakelgetal[bewerken]

Met zes positieve kruisingen en twee negatieve kruisingen hebben deze krommes schakelgetal twee.

Er bestaat een algoritme om het schakelgetal te berekenen van twee kromme van een schakeldiagram. Label elke kruising als positief of negatief, volgens de onderstaande regel[1]:

Link Crossings.svg

Het totale aantal positieve kruisingen minus het totaal aantal negatieve kruisingen is gelijk aan tweemaal het schakelgetal. Dat wil zeggen:

\mbox{schakelgetal}=\frac{n_1 + n_2 - n_3 - n_4}{2}

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. Dit is dezelfde labeling die wordt gebruikt om de writhe van een knoop te berekenen, hoewel wij in dit geval alleen kruisingen labellen die beide krommen van de schakel betreffen.